4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第四章数列 随堂检测学以致用 答案见Pg 1.等比数列1，x,x2,x3,…的前n项和S。= 2.已知各项均为正数的等比数列{a,}的前4项 和为15，且as=3aa+4a1,则aa= () A号 A.16 B.8 C.4 D.2 3.等比数列{an}的前n项和为Sm,且4a1,2a2,a &安 成等差数列.若a=1,则S= () C.1-x≠1且x≠0， 1-x A.15 B.7 C.8 D.16 n,x=1 4.已知数列{an}的前n项和为Sm,且an=nX2", 1一x” ,x≠1且x≠0， 则S.= 0. 1-x ,x=1 提示完成P课时作业（九） 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 [学习目标]1，掌握等比数列前n项和的性质及应用，增强数学运算和逻辑推理的核心素养（重难点），2，掌握 等比数列的实际应用，培养数学建模和数学运算的核心素养.3.能用分组转化法求数列的和，增强数学运算和 逻辑推理的核心素养. 必备知识·基础落实 答案见P出 要点一等比数列前n项和公式的函数特征 数列的偶数项和与奇数项和，则 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N),则 当公比9≠1时，设A=,”,等比数列的前n S=qi 项和公式是S.=A(d一1)，即S,是n的 型函数.数列S,S2,S,…,Sw,…的图象 ②在等比数列中，若项数为2n十1(n∈N),则 是函数 图象上的一群孤立的点.当 S5一a=g S幅 公比q=1时，因为a≠0，所以Sn=a1,Sm是 辨析 n的 函数，数列S,S,S,…,S,… 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 的图象是正比例函数 图象上的一 (1)设S。为数列{an}的前n项和，若S.=3×2一 群孤立的点。 3,则该数列是等比数列. () 要点二等比数列前项和的性质 (2)等比数列{a.}共2n项，其中奇数项的和为 1.数列{a.}为公比不为一1的等比数列（或公比 240,偶数项的和为120，则该等比数列的公比 为一1，且n不是偶数)，S为其前n项和，则 q=2. () Sn,S2n一S.,Sw一Sm,…仍构成等比数列. (3)若数列{am}为等比数列，则S,Ss一S:, 2.若{am}是公比为g的等比数列，则S+m=S.十 Se一Ss成等比数列 g"Sm(n,m∈N"). (4)已知等比数列{an}是递增数列，其前n项 3.若{an是公比为g的等比数列，S,S分别是 和为S,则{Sm}也是递增数列. () 31· 数学选择性必修第二册课堂学案 关键能力~素养提升 答案见Pg 探究一 等比数列前n项和性质的应用 探究二 分组求和法 规律总结 规律总结 解决有关等比数列的前项和的问题时，若 (1)应用条件：一个数列的通项公式是由若干 能恰当地使用等比数列的前项和的相关性 个等差数列或等比数列或可求和的数列的通 质，则可以避繁就简，运算简便的同时避免了 项公式相加组成. 对公比9的讨论.解题时把握好等比数列的 (2)解题步骤 前项和性质的使用条件，并结合题设寻找 ①分组：分析通项公式或对通项公式适当变 使用性质的切入点 形，分为可求和数列相加的形式： 【例题1】(1)(2021·全国甲)设S.为等比数列 ②求和：分别对分组后的数列求前n项和： {aw}的前n项和，若S2=4.S=6,则S= ③相加：相加得原数列的前n项和. ( 【例题2】在各项均为正数的等比数列{a.}中，已 A.7 B.8 知a1=2,&a2十2a4=a6. C.9 D.10 (1)求数列{am}的通项公式： (2)等比数列{an}中，公比q=3,S=32,则 ag十a4十a6+…十aso= (2)设b,=a.十2，求数列{b.}的前n项和T 【变式1】(1)已知等比数列{a.}共有2n项，其和 为-240，且(1十a3+…十a2-1)-(ag十 a:十…十a2n)=80,则公比q= A.-2 B号 c D.2 (2)若数列{a.}是等比数列，且其前n项和为 S.=3+1一2k,则实数k= ·32 第四章数列 【变式2】求数列24日66…，2十2… 【例题3】借贷10000元，以月利率为1%，每月以 复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开 的前n项和S. 始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付 多少元(1.01≈1.061,1.01≈1.051)？ 探究三 等比数列前项和的实际应用 【变式3】中国古代数学著作《九章算术》中的很 多题目取材于现实生活，有很强的应用性和 解题技巧 趣味性，其中一道经过改编的题目是这样的： 解数列应用题的具体方法和步骤 一堆栗子一斗装不完，两斗装不满，每斗装 (1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求： 400个栗子，一群猴子分这堆栗子，第一只猴 ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等 子取走全部的一半