4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数学选择性必修第二册课堂学案 【变式3】我国生物科技发展日新月异，其中生物 万元以上（精确到1年，参考数据：lg1.2≈ 制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入 0.08,lg5≈0.70). 资金50万元进行新药开发，并计划每年投入 的研发资金比上一年增加20%.按此规律，至 3 年后，每年投人的资金可达250 随堂检测·学以致用 答案见P 1.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且 3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等 a3a1=16,则as= ( ) 比数列，则插入的6个数的积为 A.1 B.2 C.4 D.8 4.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方 2.在等比数列{a,}中，若Ba arana1=32,则 形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正 11 方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共 的值为 ( 画了10个正方形，则第10个正方形的面积等 A.4 B.2 子 平方厘米. C.-2 D.-4 提示完成P课时作业（八） 4.3.2等比数列的前n项和公式 第1课时等比数列的前n项和公式 [学习目标]1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，发展逻辑推理的核心素养（重意）.2.会用错位相减法求 数列的和，增强逻辑推理和数学运算的核心素养（难点），3.掌握等差数列与等比数列的综合应用，强化逻辑推 理和数学运算的核心素养（难点）. 必备知识·基础落实 答案见P 要点一 等比数列的前n项和公式 >思考：如果Sn=a1十a2q十ag2十…十aq”1, 其中{am)是公差为d的等差数列，q≠1，两边 已知量 首项，公比与项数 首项、公比与末项 同乘q,再两式相减会怎样？ 求和 a(1- 1-4 (≠1) a一a(g≠1) 1-4 公式 a1(g=1) a1(g=1) 要点二 错位相减法 1.推导等比数列前n项和公式的方法叫 法 2.该方法一般适用于求一个 数列与一个 要点三等差数列与等比数列的综合应用 数列对应项积的前n项和，即若{b}是 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于 公差d≠0的等差数列，{c.}是公比q≠1的等 读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通 比数列，求数列{bcm}的前n项和S,时，可以 项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问 用这种方法. 题要重视方程思想的应用：既要善于综合运用 ·28· 第四章数列 等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善 (2)等比数列的前项和公式可以简写成S。= 于根据问题情境具体分析，寻找解题的突 -Ag+A(q≠1). () 破口. (3)求Sn=a十2a2+3a3+…十a"时只要把上 辨析 式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法 判断正误，正确的画“/”，错误的画“X” 求得 () (1)求等比数列{am}的前n项和时可直接套用 (4)若首项为a的数列既是等比数列又是等差 公式S.-a2来求 1-g 数列，则其前n项和等于a. 关键能力·素养提升 答案见Pu 探究一 等比数列前项和公式的基本运算 【变式1】(1)记Sn为等比数列{am}的前n项和. 若a=3a=u6,则S= () 规律总结 (1)知三求二：在等比数列前n项和公式中， A号 R C.212 9 D.121 9 共有a1,auq,n和S。这五个量，已知其中任 (2)数列(a.}中，a=2,au+1十2a.=0,若其前 意三个，都可以求出另外两个 k项和为86，则k= (2)两种思想：关于等比数列前n项和公式的 基本运算，多运用方程的思想，求出首项 和公比9这两个基本量，从而求出通项公式 同时此类问题在求解中经常使用整体代换的 思想 (3)一个注意点：凡涉及等比数列前n项和的 问题，必须注意公比q是否等于1，如果不确 探究二 错位相减法求和 定，应分q=1和q≠1两种情况讨论， 规律总结 【例题1】在等比数列{aw}中，公比为q,前n项和 为Sm. 错位相减法的适用范围及注意事项 (1)适用范围：它主要适用于{am}是等差数 0a,=8a,=8-求: 列，{b.}是等比数列，求数列{a,b。)的前n (2)S=7s=2求a.及5： 项和， (2)注意事项 (3)a1十an=66,a2aa-1=128,Sn=126,求g. ①利用“错位相减法”时，在写出S.与gS。的 表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作 差，正确写出(1一q)S。的表达式 ②利用此法时要注意讨论公比q是否等 于1. 【例题2】设{am}是等差数列，{b.}是等比数列，公 比大于0，已知a=b1=2,b=ae,b=a:+4. 29 数学选择性必修第二册课堂学案 (1)求{an}和{bn}的通项公式： 【例题3】已知S,是等比数列{an}的前n项和， (2)i记c-器，n∈N,证明：a十a+…+ S,S2,S成等差数列