4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的最值和综合应用-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第四章数列 【例题3】(1)数列{am},{bn}均为等差数列，前n 【变式3】(1)已知Sn,T.分别是等差数列{am, 项和分别为S,工若号-是，则哈= 6的前n项和，且受-EN),则 10 A贵 R c男 n昌 b十bgbs+b后 (2)已知等差数列{au}的前30项中奇数项的 (2)一个等差数列的前12项和为354，前12 和为A,偶数项的和为B,且B一A=45,2A= 项中偶数项的和与奇数项的和之比为32： B+615,则am= 27,则该数列的公差为 随堂检测·学以致用 答案见P L.已知数列{a.}的通项公式为am=2一3m,则 A.12 B.20 C.40 D.100 {an}的前n项和S。 ( ) 3.已知在等差数列{a)中，公差d=1,且前100 A一r+号 R-r-号 项和为148，则前100项中的所有偶数项的和 为 cr+号 nr- 4.记Sm为等差数列{am}的前n项和，若a3=5, 2.设等差数列{an}的前n项和为Sm,已知S。 a=13,则S1o= 100,则a十= ( ) 是示完成Px课时作业（五） 第2课时 等差数列前n项和的最值和综合应用 [学习目标]1.会解决与等差数列前n项和的最值有关的问题，培养数学运算的核心素养（重点）.2.掌握等差 数列前n项和的综合应用，提升数学建模和数学运算的核心素养（难点）.3.会用裂项相消法求和，强化数学运 算的核心素养（重点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点等差数列{an的前n项和公式S,的 n的二次函数，它的图象是抛物线y=号t+ 函数特征 1.前n项和公式S.=a+n",1Dd可化成关于 (a一号)x上横坐标为正整数的一系列孤立 的点。 n的表达式S. 当d≠0时， 2.等差数列前n项和的最值 S。关于n的表达式是一个常数项为零的二次 (1)在等差数列{an}中，当a1>0,d<0时，S 函数式，即点(n,S)在其相应的 函数 有 值，使S,取得最值的n可由不等 的图象上，即等差数列的前n项和公式是关于 式组 确定；当a<0,d>0时，S有 ·19 数学选择性必修第二册课堂学案 值，使S,取得最值的n可由不等式 组 确定。 (a.受)aEN)在同-条直线上 () (3)已知数列{am}的前n项和公式为S.= (2)S.=号r+(a,一号)m,若d≠0，则从二次 an2十bm十c,则数列{an}是等差数列.（) 函数的角度看：当d>0时，S.有 值： (4)设等差数列{am}的前n项和为S.,且S。= 当d<0时，S有 值.当n取最接近对 称轴的自然数时，S取到最值 S,(p,9∈N),则S,在n=2(p十g)处取得最 辨析 大值或最小值。 () 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (5)若等差数列{a.}的前n项和Sm=An2十Bm (1)等差数列{an}的前n项和Sm都可以写成二 (小0).则其最大值或最小值一定在=一易 次函数S。=An十Bn. ( (2)若S.为等差数列{an}的前n项和，则点 处取得 ( 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 等差数列前n项和S.的最值 (2){a.}的前多少项和最大？ 规律总结 (1)等差数列前n项和S,最大（小）值的情形 ①若a1>0,d<0,则S存在最大值，即所有 非负项之和 ②若a1<0,d>0,则S存在最小值，即所有 非正项之和， 【变式1】已知在等差数列{an}中，a1=9,a,十 (2)求等差数列前n项和S。最值的方法 a=0. ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的 (1)求数列{a.}的通项公式： am≥0， .am0, (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得 性质或利用 或 来寻找。 an+1≤0aw+1≥0 最大值？最大值是多少？ ②利用到y=a.x2十bx(a≠0)图象的对称轴 距离最近的一侧的一个整数或高对称轴最近 且关于对称轴对称的两个整数的对应项作为 正、负项的分界点。 【例题1】已知数列{a.}的前n项和S.=33n一r. (1)求{an}的通项公式： ·20 第四章数列 探究二等差数列前项和的实际应用 今三十织迄，问织几何.”其大意为：有个女子 不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第 答题模板 一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完， 则三十天共织布 根据题没条件，建立数列模型 A.30尺 建 分析实际问题的结特征： B.90尺 ②找出：所含元素的散受美系： 得：俯定为何神数列模型 C.150尺 D.180尺 (2)某中学“希望工程”募捐小组暑假期间走 刘用相关的敖列如加识加以的决： 解族 分冰穷项、公苦、项数年： 上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款 健分清是求a还是S: ③这M造当的方法求解 1200元.他们第1天只得到10元，之后采取 了积极措施，