4.2.1 第1课时 等差数列的概念及简单表示-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第四章数列 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念 第1课时等差数列的概念及简单表示 [学习目标]1通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，发展数学抽象的核心素养（重难 点).2.体会等差数列与一元一次函数的关系，增强逻辑推理的核心素养.3.掌握等差数列的判定方法，增强逻 辑推理和数学运算的核心素养（重点）， 必备知识·基础落实 答案见P 要点一等差数列的概念 要点四 等差数列与一次函数的联系与区别 1.文字语言 等差数列 一次函数 一般地，如果一个数列从第 项起，每一 解析 a,=dn+(a-d) f(x)=dx+(a 项与它的前一项的差都等于同一个 式 (n∈N) d)(d≠0，x∈R) 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 当d≠0时，解析式是 相同 解析式是关于自变 等差数列的 ,公差通常用字母d表 关于自变量n的一次 点 量x的一次形式 形式 示，可正可负可为零 (1)其中的d是数列 2.符号语言 的公差，没有限定 au+1一a。=d(d为常数，n∈N). d≠0，当d=0时表 (1)其中d是直线的 斜率，限定了d≠0： 示的是常数列： 要点二等差中项 不同 (2)定义域为R: 点 (2)定义域为N或其 (3)图象是一条不能 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是 有限子集； 与x轴平行或重合 最简单的等差数列.这时， 叫做a (3)图象是一条直线 的直线 上均匀分布的一系列 与b的等差中项，这三个数满足关系式a十b= 孤立的点 辨析 要点三等差数列的通项公式 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 如果等差数列{aw}的首项为a1,公差为d,那么 (1)若一个数列从第二项起，每一项与它的前 它的通项公式是aw= 一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. >思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了 () 不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？ (2)若{a.}是等差数列，则对任意n∈N都有 2a+1=an十an+2成立. () (3)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一 定是等差数列 () (4)数列{a}的通项公式为a,= 1,n=1, 则 n+1,n2 {an}是等差数列. () 11 数学选择性必修第二册课堂学案 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 等差数列的通项公式及其应用 【变式1】在等差数列{an}中，求解下列各题. 1)已知公差d=一号，a,=8,求a: 规律总结 (2)已知a1十a:=a4=8,求a6: 等差数列通项公式的应用 1 (1)等差数列{an}的通项公式a=a1十(-1)d (3)已知a=2方，公差d>0,且从第10项开 中含有四个量，即am,a1,n,d,如果知道了其 始，每一项都大于1，求此等差数列的公差d 中的任意三个量，就可以由通项公式求出第 的取值范围。 四个量，这一求未知量的过程我们通常称之 为“知三求一” (2)从函数的角度看等差数列的通项公式。由 等差数列的通项公式an=a1十(n一1)d可得 an=dn十(a1一d),当d≠0时，an是关于n的 一次函效 (3)由两点确定一条直线的性质可以得出，等 差数列的任意两项可以确定这个等差数列. 若已知等差数列的通项公式，则可以写出数 列中的任意一项。 【例题1】(1)在等差数列{an}中，首项a1=一1， 444444444444444444444444444444444444444444444 公差d=3,则当4n=2024时，n= ( A.673 B.674 C.675 D.676 (2)在等差数列40,37,34，…中，第一个负数 探究二 等差中项及其应用 项是 ( A.第13项 B.第14项 解题技巧 C.第15项 D.第16项 (1)求两个数π，y的等差中项A,即根据等差 (3)在等差数列{a.}中，若a=12,a6=27,则 中项的定义得A=十y 其通项公式为 2 (2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两 边两项的等差中项即可，即若a,b,c成等差 数列，则有a十c=2b:反之，若a十c=2b,则 a,b,c成等差数列. 【例题2】(1)已知m和2m的等差中项是8,2m和 n的等差中项是10，则和n的等差中项是 12 第四章数列 (2已知·是等差数列，求证， 【例题3】已知数列{a}满足a=4,a,=4-4 ax-1 a十c,a十b也是等差数列， (n>1),记bn= 1 b'c ,—2求证：数列{6是等差 数列。 【变式2】已知数列{x.}的首项x1=3,通项x.= 2"p十g(n∈N,p,q为常数)，且x1,x4,x 成等差数列，求p,g的值. 【变式3】已知数列{a.},满足a=2,a+1= w十2 1)数列品}是否为等差数列？说明理由： (2)求am. 探究三等差