4.1.2 数列的递推公式与an和Sn的关系-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测·学以致用 答案见P 1.数列1,3,6,10，x,21,中，x的值是( A.12 B.13 C.15 D.16 D.1w2,w3,…,√21 2.(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递 3.已知数列{an}的通项公式为an=log(2+1) 增数列的是 (n∈N),则a3= 4.已知数列√3，W7,√1Π，√15，…，则该数列的一 个通项公式为 Bsin7,sin7x,sin号x,…,sin号元，… 1 2 、3 提示完成Ps课时作业（一） 第2课时数列的递推公式与an和Sn的关系 学习目标]1.理解递推公式的含义，培养数学抽象的核心素养，2.掌握递推公式的应用，增强逻辑推理的核心 素养（难点）.3.会用4w与S。的关系求通项公式，增强数学运算的核心素养（重点） 必备知识·基础落实 答案见P 要点一 数列的递推公式 之和，称为数列{an}的前n项和，记作S,即 1.定义 S.= 已知一个数列的首项（或前几项），如果这个数 2.公式 列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个 如果数列{a.}的前n项和S。与它的 式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么 推公式. 这个式子叫做这个数列的前n项和公式，于是 2.数列的递推公式与通项公式的关系 有a.= 辨析 递推公式 通项公式 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 表示a,与它的前一项 表示a.与 (1)所有的数列都有递推公式. 区别 (或前几项)之 之间的关系 (2)若数列{a.}的前n项和为S.,且对任意n∈ 间的关系 N°，都有S+1>Sn,则数列{an}是递增数列. (1)都是表示数列的一种方法： 联系 (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通 (3)若已知数列{an}的递推公式为a+1= 项公式 2a,且a:=1,则可以写出数列{a,}的任何 1 要点二 数列的前项和 一项 () 1.定义 (4)如果数列{a.}的前n项和为Sn,则对任意 数列{a}从第项起到第 项止的各项 n∈N”,都有aw+1=S+1一S () 8 第四章数列 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 由递推公式求数列中的项 【变式1】已知在数列{a.}中，a1-1,a2=2,an+2= a+1一aa,n∈N”,试写出aa,a,a5,a6,a,aa, 规律总结 你发现数列{am}具有怎样的规律？你能否求 出该数列中的第2028项？ 由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，弄清楚 公式中各部分的关系，依次代入计算即可 (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成 用后面的项表示前面的项的形式，如a。= 2a-1+1. (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成 用前面的项表示后面的项的形式，如a+1= an- 【例题1】写出下列数列{a.}的前5项. a,=3a,=(-r·2a16≥2.neN (2)a1=1,an=3aw-1+1(n≥2，n∈N). ++4+++4+4+4++4+4+++4+4+++4+4++一4+4++++4+4++4++ 探究二 由递推公式求通项公式 规律总结 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)累加法：若已知a1且a.一a-1=f(n) (n≥2)，则(an-a-1)+(a。-1一a-2)+…十 (a3-a:)+(az-ai)=an-a=f(n)+f(n- 1)+…+f(3)+f(2),即am=a1+f(2)+ f(3)++f(n-1)+f(n). (2)累乘法：若已知a1且4=f(n)(n≥2)， 4- 则a..….=4=f(n)·f(n av-1 dw-2 a al 1)·…·f(3)·f(2),即am=a·f(2)· f(3)·…·f(n-1)·f(n). 数学选择性必修第二册课堂学案 【例题2】(1)已知数列{an}满足a1=一1，a+1= 探究三利用am与S,的关系求通项公式 am十n,n∈N°，求通项公式an. (2)设数列1a.中，a=1.a,=(1-)a 答题模板 (n≥2)，求通项公式an 用au与Sm的关系求an的步骤 (1)先确定n≥2时an=Sw一S-t的表达式； (2)再利用Sn求出a1(a1=S1): (3)验证a1的值是否适合a.=S,一S。-1的表 达式： (4)写出数列的通项公式 【例题3】已知数列{a.}的前n项和S.=2n2一3n, 则数列{an}的通项公式an= 【变式2】已知数列{am}中，a1=1,aw+1= 3a a。+3 (n∈N),求通项公式a 【变式3】已知数列{a。}的前n项和S.=3”十1，则 数列的通项公式a. 随堂检测·学以致用 答案见P 1.数列2,4,6,8,10，…的递推公式是 3.已知数列{au}满足a1