5.3.1 函数的单调性-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.函数f(x)=x十e-1的导数是 3.若f(x)=xe,则f(x)在x=2处的切线的斜 A.ex B.1+1C.1+eD.1+e 率是 4.已知函数f(x)=ln(ax一1)的导函数是f(x), 2.已知f(x)=1n(3x-1),则f(1)=( 且f(2)=2,则实数a的值为 A司 B.1 c D.2 提示完成P课时作业（十五）和Pm培优训练（三） 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 [学习目标]1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，培养直观想象和逻辑推理的核心素 养，2.能利用导数研究函数的单调性，增强逻辑推理的核心素养（重难点），3.对于多项式函数，能求不超过三次 的多项式函数的单调区何，提升数学运算的核心素养（重点）， 必备知识·基础落实 答案见P以 要点一函数的单调性与导数的关系 要点二函数图象的变化趋势与导数绝对 1.一般地，在区间(a,b)内，函数f(x)的单调性 值大小的关系 与导数(x)的正负有如下关系. 观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小 导数 函数的单调性 与函数图象的变化关系如表所示 f(x)>0 单调递增 f(x)<0 单调递诚 图象 f(x)=0 常函数 导数为正， 导数为正， 导数为负， 导数为负， 2.一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 导数 且绝对值越 且绝对值越 且绝对值越 且绝对值越 y=f(x)的单调性： 来越大 来越小 来越大 来越小 第1步：确定函数的 第2步：求出导数f(x)的 函数函数值变化 函数值变化 函数值变化 函数值变化 第3步：用f(x)的 将f(x)的定义域 值 越来越 越来越 越来越 越来越 划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间 图象 越来越 越来越 越来越 上的 由此得出函数y=f(x)在定义 越来越 特点 域内的单调性。 ·52 第五章一元函数的导数及其应用 辨析 的切线越“陡峭”. () 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个 (1)函数f(x)在区间(a,b)上都有f(x)<0, 区间上导数的绝对值越大 () 则函数f(.x)在这个区间上单调递减.() (4)判断函数的单调性时，在区间内的个别点 (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处 f(x)=0,不影响函数在此区间的单调性（) 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 导函数与原函数的图象 (2)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图 象之一，且其导函数y一f(x)的图象如图所 规律总结 示，则该函数的图象是 () 研究函数图象与其导函数图象之间的 关系的着手点 研究一个函数的图象与其导函数的图象之间 的关系时，要注意抓住各自的关键要素，对原 函数，我们应重点关注其图象在哪个区间上 单调递增，哪个区间上单调递减：而对于导函 数，则应关注其函数值在哪个区间上大于零， 哪个区间上小于零，并关注这些区间与原函 数的单调区间是否一致. 【例题1】(1)f(x)是函数f(x)的导函数，y= f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最 有可能是下列选项中的 【变式1】已知y=xf(x)的图象如图所示（其中 了(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象 中，y=f(x)的图象大致是 () ·53· 数学选择性必修第二册课堂学案 【变式2】求函数f(.x)=x2一lnx的单调区间. 探究二 利用导数求函数的单调区间 答题模板 用解不等式法求单调区间的步骤 (1)确定函数∫(x)的定义域： 探究三判断含有参数的函数的单调性 (2)求导函数f(x): (3)解不等式f(x)>0(或(.x)<0),并写 答题模板 出解集： 利用导数研究含参函数f(.x) (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调 的单调区间的一般步骤 区间 (1)确定函数f(x)的定义域； 【例题2】求下列函数的单调区间. (2)求导数f(x): (1)f(x)=3x2-2lnx: (3)分析参数对区间端，点、最高次项的系数的 (2)f.x)= 影响，以及不等式解集的端点与定义城的关 x-2 系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类 讨论： (4)在不同的参数范围内，解不等式f(x) 0和(x)<0,确定函数f(x)的单调区间. 【例题3】设g(x)=lnx-ax+(a-2)x,a<0, 试讨论函数g(x)的单调性 中中中年卡时中时中年中中年年中于年手T于卡t中于中于中中1年上 +4 54 第五章一元函数的导数及其应用 【变式3】试求函数f(x)=k.x一lnx的单调区间. 【例题4】若函数f(.x)=2.x+nx一a.x在定义域 上单调递增，求实数a的取值范围. 探究四 已知函数的单调性求参