专题13.4 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形之三大类型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题13.4 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形之三大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 共顶点的等边三角形】 1 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 11 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 22 【典型例题】 【类型一 共顶点的等边三角形】 例题：（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．    求证：(1)； (2)为等边三角形； 【变式训练】 1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）如图，点C为线段上一点，，是等边三角形，直线、交于点E，直线、交于点F．则以下结论：①；②；③；④．正确的有 ．    2．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，、、三点在一直线上，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点．    (1)吗？吗？请说明理由． (2)如图2，若、、不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立请证明． (3)在图1中，若连接、，你还能得到什么结论？（写出结论，不需证明） 3．（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图1，在等边中，点，分别在，边上，． (1)若将图1中的沿射线的方向平移到的位置，如图2，则的度数为______； (2)请在图2中找出一对全等的三角形，并说明理由． (3)若将图，2中的绕点逆时针旋转到图3所示的位置，其余条件不变． ①（2）中的结论还成立吗?（不需说明理由） ②延长交于点，则的度数为______． 4．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段于点，点在直线上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点． (1)当点在线段上时，如图①，直接写出，，之间的关系 　　． (2)当点在线段的延长线上时，如图②，当点在线段的延长线上时，如图③，请分别写出线段、、之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明． (3)在（1）、（2）的条件下，若，，请直接写出的值．    【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．    (1)【猜想】：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是________，位置关系是________． (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是________． 【变式训练】 1．（2023春·广东佛山·八年级佛山六中校考阶段练习）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． 填空： ①的度数为__________； ②线段，之间的数量关系为__________． （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数并证明：． 2．（2022秋·甘肃陇南·八年级校考期中）已知和都是等腰直角三角形，，点是直线上的一动点（点不与点重合），连接．    (1)在图1中，当点在边上时，求证：； (2)在图2中，当点在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点在边的反向延长线上时，求出之问存在的数共关系及直线与直线的位置关系． 3．（2023·山东枣庄·统考二模）感知：如图①，和△ADE都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需证明． (1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（），连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． (2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接．求： ①的度数； ②若，，则线段的长是多少？ 4．（2023春·湖南常德·九年级统考期中）已知：和均为等腰直角三角形，，，，按图1放置，使点在上，取的中点，连接． (1)观察发现：图1中的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)探究证明：将图1中的绕点顺时针转动，再连接，取的中点（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论； (3)拓展延伸：将图1中的绕点顺时针转动任意角度（转动角度在到之间），再连接的中点（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论． 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，与都是等腰三角形，相交于点．    (1)试说明：； (2)求的度数． 【变式训练】 1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．    (1)如图1，当