专题3.3 幂函数（讲+练，八大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题3.3 幂函数 知识点一 幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. 知识点二 5种幂函数的图象 幂函数图象的要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域． 根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 知识点三 5种幂函数的性质 1.5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 2.共同性质： （1）图象都过点（1,1）； （2）在区间（0，+∞），幂指数大于0时，图象随x增大逐渐上升，函数为增函数；幂指数小于0时，图象随x增大逐渐下降，函数为减函数. 知识点四四 几个结论 对于形如 (其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)． 考点01 幂函数的解析式 【典例1】（2023秋·高一课时练习）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________. 【规律方法】 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数， 考点02 幂函数的定义域、值域 【典例3】（2021·全国高一课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 【典例4】（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 考点03 幂函数的图像 【典例5】（2023秋·高一课时练习）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 【典例6】（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【规律方法】 1.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可． 2.幂函数y＝xα在第一象限内图象的画法如下： ①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出；②当0＜α＜1时，其图象可类似y＝x画出；③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出． 考点04 幂函数的性质 【典例7】（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【典例8】（2022秋·江西九江·高一校考期中）下列函数中，即是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【典例9】（2023秋·高一课时练习）下列幂函数中是奇函数且在上单调递增的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤. 考点05 幂函数图像和性质的应用--求参数 【典例10】（2022秋·湖北鄂州·高一校联考期中）已知函数是幂函数.若对于，且，均有，则（    ） A． B．8 C．4 D． 【典例11】（2023·全国·高一专题练习）函数的图象如图所示，则的值为（    ）    A． B．0 C．1 D．2 【典例12】（2021秋·高一校考课时练习）已知，若幂函数为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则 ． 【规律方法】 根据图象和性质，布列关于参数的方程，解方程即得. 考点06 幂函数图像和性质的应用--比较大小 【典例13】（2022·全国·高一专题练习）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例14】（2023秋·广东肇庆·高一校考开学考试）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【典例15】（2023·全国·高一随堂练习）利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：