第04讲 全等三角形的常见辅助线专题探究-【专题突破】2023-2024学年八年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第4讲 全等三角形常见辅助线专题探究 类型一 倍长中线——构全等 【知识点睛】 · 倍长中线辅助线方法规律总结 基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境 延长AD到点E， 使DE=AD，连接CE 条件：△ABC，AD=BD 结论： △ABD≌△CED(SAS) ①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围 ②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题 · 倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型： 基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境 延长AD交直线l2于点E， 条件：l1∥l2，CD=BD 结论： △ABD≌△ECD(AAS) 与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定 【类题训练】 1．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是 　． 2．如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE． （1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明． （2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 3．如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由． 4．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 5．综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 　 A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA （2）AD的取值范围是 　 　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形ABCD（各角都为直角）中，E为AB边的中点，G、F分别为BC边上的点，若AG＝2，BF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长． 6．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　 　． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 7．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 类型二 截长补短——造全等 【知识点睛】 · 截长补短辅助线方法规律总结 基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境 在AC上截取AE=AD，连接PE 条件： AP平分∠BAC， 结论： △APD≌△APE(SAS) ①截长补短类辅助线经常和角平分线同步考察 ②截长补短类全等的目的通常是为了等价线段 总结：因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF 【类题训练】 1．如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BC