专题04 基本不等式及其运用（考点归纳与八大题型方法总结）-2023-2024学年高一数学章节复习与专题突破讲与练（人教A版2019必修第一册）

专题04 基本不等式及其运用 【题型归纳目录】 题型一：基本不等式的理解 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：换元求最值 题型五：“1”的代换求最值 题型六：利用基本不等式求参数 题型七：利用基本不等式证明不等式 题型八：利用基本不等式解决实际问题 【考点归纳】 考点1：基本不等式 1．重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式 （1）有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数． （2）不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即，当且仅当a＝b时，等号成立． 【注意】① 基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件；② 连续使用不等式要注意取得一致。 （3）其他变形： ① (沟通两和与两平方和的不等关系式) ② (沟通两积与两平方和的不等关系式) ③ (沟通两积与两和的不等关系式) ④ 重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 3．已知x、y都是正数， （1）若(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. （3）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时， 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 考点2：常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 【题型归纳】 题型一：基本不等式的理解 【例1】【例1】下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋≥2＝2. ②若x＜0，则x＋＝ ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 【例2】下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【方法技巧归纳】 1．基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【变式演练】 1．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 2．（多选）已知、、．若，则（ ） A． B． C． D． 3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 题型二：直接法求最值 【例3】若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 【例4】若，则有（ ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 【例5】已知正数、满足，则的最小值是___________. 【方法技巧归纳】 利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章§3.2函数的基本性质中学习. 【变式演练】 1．已知，，且，则的最大值是（ ） A．1 B． C．3 D．5 2．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形面积的最大值是（ ） A．4 B． C．2 D． 3．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（ ） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 4．已知，，且，则ab的最大值为（ ） A． B．4 C． D．2 5．若，则（ ） A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 题型三：常规凑配法求最值 【例5】函数的最小值是 【例6】已知，则 的最大值是 【例7】若 ，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【方法技巧归纳】 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．（见常考模型） 2．注意验证取得条件． 【变式演练】 1．当时，取得最小值时x的值为（ ） A．0 B． C．3 D．2 2．若，则函数的最小值为___________. 3．若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D．