专题05 一元二次不等式及常见不等式（考点归纳与六大题型）-2023-2024学年高一数学章节复习与专题突破讲与练（人教A版2019必修第一册）

专题05 一元二次不等式及常见不等式 【题型归纳目录】 题型一：一元二次不等式的解法 题型二：其他不等式的解法 题型三：含参数的一元二次不等式的解法与求参 题型四：三个“二次”的关系 题型五：一元二次不等式的应用 题型六：不等式恒成立问题 【考点归纳】 考点1：一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． （2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． （3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． （4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 4．三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 R y＜0 {x|x1＜x＜x2} 考点2：一元二次不等式的应用 1．分式不等式 （1） （2） （3） （4） 2．绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 3．（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 （2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k 4．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 （1）阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． （2）设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． （3）解不等式(或求函数最值)． （4）回扣实际问题． 【方法技巧与总结】 1．解一元二次不等式的常见方法 （1）图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． （2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m<n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}； 若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}． 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑 （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. （2）关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2. ① 关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； ② 已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； ③ 已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； ④ 已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足 3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标. 4．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零． 5．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论： （1）若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max； （2）若f(x)有最小值f(x)min，则a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min. 6．在某集合A中恒成立问题 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 若ax2＋bx＋c＞0在集合A中恒成立，则集合A是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围). 【题型归纳】 题型一：一元二次不等式的解法 【例1】求下列不等式的解集. （1）； （2）；