专题02 特殊平行四边形提高证明题（最值类精选20道）-2023-2024学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题02 特殊平行四边形提高证明题（最值类精选20道） 1．如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线，过A点作交的延长线于点G．    (1)求证：； (2)若，求证四边形是菱形； (3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为的中点，当点P在边上运动时，求的最小值，并求出此时线段的长． 2．如图，在平行四边形中，点E在边上，平分，点F在边上，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，点P在线段上运动，请直接写出当点P在什么位置时取得最小值，最小值是多少． 3．实践操作 在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时， ______°；当点E与点A重合时， ______°； ②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长． 深入探究 （2）若点P落在矩形的内部（如图③），且点E、F分别在边上，请直接写出的最小值．    4．如图，正方形的边长是．点是正方形对角线上一动点，过点分别作、的垂线，垂足分别为，    (1)若，求的长； (2)请你猜想与的数量关系，并给出证明； (3)在点运动过程中，的长也随之变化，直接写出的最小值． 5．如图，正方形的边长为为中点，过顶点作直线与边交于点（点不与重合），分别过点作直线的垂线，垂足分别为点．    (1)__________． (2)①求证：；②计算：__________． (3)①连接，当位置变化时，的长度是否变化？ ②当位置变化时，的长度随之变化，请直接写出长度的最小值． 6．在中，、分别是、的中点，连接、．    (1)求证：； (2)如图，当满足什么条件时，四边形是菱形，并说明理由； (3)如图，为的中点，是线段上一动点，在（2）的条件下，若，，求的最小值． 7．已知菱形，点、点分别在边，上．    (1)猜想与证明 ①如图1，若，，点、点分别为垂足，则与之间的数量关系是______； ②如图2，当且，分别不与，边垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)作图与计算 ①作图：若，点是边的中点，请在边上找一点，使的值最小；请根据描述在图3中画出图形； ②在①的条件下，若，请直接写出的最小值． 8．如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．    (1)求证：四边形为矩形． (2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明． (3)在矩形中内部有一动点P，满足，求的最小值． 9．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，．    (1)如图1，点P为射线上的动点，连接，若是等腰三角形，求的长度； (2)如图2，是否在x轴上存在点E，在直线上存在点F，以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，点M是边上的动点，过点M作的垂线交直线于点N，求的最小值． 10．【问题提出】 （1）如图1，在中，点为边的中点，连接，若，则________． 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，连接，求线段的最小值． 【问题解决】 （3）在中，，，，为边上一点，连接，过点作于点取的中点为，点为边上一点，且，连接，求线段长度的最小值．    11．如图1，点是矩形边上一点（不与点，重合），直线与的延长线交于点．将沿直线折叠得到，点在矩形的内部，延长交直线于点．    (1)证明：； (2)如图2，连接，若，，求周长的最小值； (3)如图3，连接交于点，点是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 12．已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图1，于点N，交于点Q．    ①求证：； ②若，求的值． (2)如图2．M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是______，当取得最小值时的长为______．    13．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断   操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片的边上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，把纸片展平，射线交射线于点． 判断：根据以上操作，图1中与的数量关系：____________． (2)迁移探究   在（1）条件下，若点是的中点，如图2，延长交于点，点的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度，如果不确定，说明理由； (3)拓展应用   在（1）条件下，如图3，，交于点，取的中点，连接，则的最小值是______． 14．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)直线与相交