专题17 解直角三角形模型（讲+练，3大知识点）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版）

专题17 解直角三角形模型 ★知识点1：背靠背型 如图，已知△ABC，过点C作CD⊥AB，得到Rt△ACD和Rt△CDB． 【模型分析】已知三角形中的两角(∠A和∠B)及一边(AC或BC)，在三角形内作高CD，构造两个直角三角形求解，公共边CD是解题的关键． 典例分析 【例1】（2023·上海·一模）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B， A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据： ，，，，，） 【例2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，） 【即学即练】 1．（2020·上海杨浦·统考一模）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在中，测得，，米，求河宽（即点A到边的距离）（结果精确到0.1米）． （参考数据：，，，） 2.（2020秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为60m，求这栋高楼的高度． ★知识点2：母子型 已知△ABD，过点B作BC⊥AD交AD的延长线于点C，则得到Rt△BCD和Rt△ABC． 已知三角形中的两角(∠1和∠2)及其中一边，在三角形外作高BC，构造两个直角三角形求解，公共边BC是解题的关键． 典例分析 【例1】（2023·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346） 【例2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，在同一水平直线上，求这条河的宽度．（结果精确到1米）．（参考数据：，） 即学即练 1．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，， 8．（2020·河南·模拟预测）二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端A的仰角为，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据）． ★知识点3：拥抱型 如图，已知Rt△ABC和Rt△BDE. 【模型分析】单独解每个三角形再加减． 典例分析 【例1】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73） 【例2】（2020秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°． （1）求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，1.73） （2）“景点简介”显示，“炎帝”塑像高度为63m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 即学即练 1（2023·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处