专题16 解直角三角形及其应用（讲+练，6大知识点）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版）

专题16 解直角三角形及其应用 ★知识点1 解直角三角形 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（） 2. ∠A+∠B=90° 3. sin A= = 4. cos A= = 5. tan A= = 典例分析 【例1】（2023春·海南海口·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，则的长为（   ）    A．15 B．12 C．9 D．6 【例2】（2023·河南洛阳·统考一模）如图，AD是的高，若，，则边的长为（    ）    A． B． C． D． 即学即练 1．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，是斜边上的高，若，，则（ ）    A． B． C． D． 2．（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）在中，，那么等于（    ） A． B． C． D． ★知识点2 解非直角三角形 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 典例分析 【例1】（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【例2】（2023·上海·九年级假期作业）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 即学即练 1．（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 2．（2022春·九年级课时练习）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里． A． B． C． D． ★知识点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 典例分析 【例1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【例2】（2022春·九年级课时练习）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 即学即练 1.（2021春·重庆沙坪坝·九年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）如图，某高楼OB上有一旗杆CB，我校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度i=1：的山坡从坡脚的A处前行50米到达P处，测得旗杆顶部C的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为37°（测量员的身高忽略不计），已知旗杆高BC=15米，则该高楼OB的高度为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A．45 B．60 C．70 D．85 2．（2019·河北石家庄·统考一模）如图，某轮船由东向西航行，在处测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行海里到达处，此时测得灯塔在它的北偏西方向上，则       A． 海里 B．海里 C．海里 D．海里 ★知识点4 仰俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 典例分析 【例1】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，为了测量小山坡坡顶上宝塔的高，数学兴趣小组在坡底B处测得塔顶A的仰角为，测得塔底C的仰角为，且坡底B到塔底C的距离为80米，求塔高．（结果保留1位小数；参考数据：）    【例2】（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，某居民区有一座甲楼，楼高18米，要在甲楼的西侧建一座乙楼，已知太阳光线与水平线的夹角是．    (1)如果甲、乙两