第二章 一元二次函数、方程和不等式（教师专用）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一同步单元检测卷（人教A版2019）

第二章　一元二次函数、方程和不等式

一、 单项选择题(本题共8小题,每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)

1. 若都是实数则“”是“”的 (　　)

A. 充分不必要条件 

B. 必要不充分条件

C. 充要条件 

D. 既不充分又不必要条件

【解析】 ⇒⇒⇒但.故选A.

【答案】 A

2. [教材改编题]不等式的解集为 (　　)

A.

B.

C.

D.

【解析】 不等式化为,解得,所以不等式的解集为.故选A.

【答案】 A

3. [2022·广东省江门市高三模拟改编题]设集合则等于                                                      (　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】 因为集合,根据交集定义.故选C.

【答案】 C

4. 已知,且,则的最小值为(　　)

A.                B.

C.            D.

【解析】 因为,,,所以所以.当且仅当,即时,等号成立.因此,的最小值为.故选B.

【答案】 B

5. [2022·重庆市永川北山中学高一期末改编题]已知,,若不等恒成立,则的最大值为 (　　)

A. 10       B. 12      C. 16       D. 9

【解析】 由已知,,若不等式恒成立则恒成立,令则.又当且仅当时等号成立所以所以.故选D.

【答案】 D

6. 若命题“,”为真命题,则的取值范围是 (　　)

A.            B.        C.       D.

【解析】 因为所以,所以.当且仅当即时,等号成立所以.故选B.

【答案】 B

7. [教材改编题]已知“正数，满足，若“不等式对任意实数恒成立”是真命题，则实数的最小值是 (　　)

A．3            B．－3         

C．6            D．－6

【解析】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号．依题意，，即对任意实数恒成立．又，所以，即．所以实数的最小值是6.故选C．

【答案】C

8.[2023·江苏省无锡市高三月考]若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是  （     ）

A.                B.

C.         D.

【解析】  因为，所以或．又，所以①．（ⅰ）当时，，由①有，不合题意. （ⅱ）当时，①的解集为空集，不合题意.  （ⅲ）当时，，由①得，∴此时原不等式组的解集为或因为原不等式组只有整数解，所以所以．综上所述，实数的取值范围是．故选C．

【答案】 C

二、 多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9. 下列判断中正确的有 (　　)

A. 的最小值是2 

B. 若,则

C. 不等式的解集为

D. 如果,那么

【解析】 对选项A,当时,为负数,故A错误;对选项B, 取,,满足,但此时,故B错误;对选项C,不等式的解集为,故C正确;对选项D,若,则,所以,所以,故D正确.故选CD.

【答案】 CD

10. 某人以的速度从甲地到达乙地后,立即以的速度从乙地返回甲地()，设往返全程的平均速度为v，则 (　　)

A.           B.          C.       D.

【解析】 设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为,所以.因为,由基本不等式可得所以另一方面，所以,则.故选AD.

【答案】 AD

11. [教材改编题]下列四个命题中，是真命题的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若则 D．若，则

【解析】对于A，显然，但是不成立，故本命题是假命题；对于B，因为，所以，所以有，当且仅当时取等号，即时取等号，故本命题是真命题；对于C，因为，所以，所以，所以本命题是真命题；对于D，由于是有或，即或，因此本命题是假命题。故选BC。

【答案】BC

12.[2023·江苏省无锡市第一中学高三月考]下列说法中正确的有（    ）

A．若，，则一定有

B．若，，且，则的最小值为0

C．若，，则的最小值为4

D．若关于的不等式的解集是 ，则

【解析】对于A，由可得，则，又，，即，故A正确；对于B，若，，且，则，可得，因为所以，当时，取得等号，故B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，即，解得或，因为，，所以，当时取等号，即的最小值为4，故C正确；对于D，可得2和3是方程的两个根，则，解得，则，故D错误.故选ABC.

【答案】ABC

 

三、 填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13. 关于的不等式的解集为　　　　　　. 

【解析】 原不等式可化为即,即等价于解得所以不等式的解集为.

【答案】

14. [2022·福建省三明市高三模拟改编题]若集合,则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 

【解析】 已知集合则不等式无解,则不等式恒成立.因为对应二次函数的图象开口向上,所以,解得.故实数的取值范围是.

【答案】

15. [教材改编题]某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．