2.6 直线系方程与圆系方程（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

直线系方程与圆系方程 1 直线系方程 过点的直线系方程为(其中不全为零) 平行于直线的直线系方程； 垂直于直线的直线系方程； 过两条已知直线和交点的直线系方程 (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 2 圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 ； 过两圆，交点的圆系方程为 此圆系不含 特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 3 过圆上一点的切线方程 过圆上一点作圆的切线方程为 证明 向量法 向量，设切线上任意一点， ，，即， 即切线方程为. 切线方程也可以写成. 4 切点弦方程 过圆外一点引圆的两条切线，切点分别是， 则直线的方程为. 证明 方法1 设切点， 则过点的切线方程为， 由于点在切线上，所以有 ①， 设切点，同理得 ②， 由①②得点与点在直线上， 则直线的方程为. 方法2 以为直径的圆方程为，记为圆， 因为，所以点在圆上， 则是圆与圆的两个交点， 由圆系方程可知，两圆方程相减即得直线方程 (这跟圆上点的切线方程形式一致) 【题型一】直线系方程 【典题1】求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程． 过点； 和直线垂直． 【典题2】求过点，圆的切线的方程．  巩固练习 1 (★★) 求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：：， ：； 2 (★★) 求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： 斜率为；过点；平行于直线． 【题型二】圆系方程 【典题1】经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是　 ． 【典题2】 已知圆与圆． 求证：圆与圆相交； 求两圆公共弦所在直线的方程； 求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【典题3】 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为　 . 【典题4】 已知直线：，，为坐标原点，动点满足 ，动点的轨迹为曲线 求曲线的方程； 若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值； 若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点． 巩固练习 1 (★★) 求经过原点，且过圆和直线的两个交点的圆的方程． 2(★★) 求过直线和圆的交点，并且面积最小的圆的方程． 3(★★) 求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程． 4 (★★) 已知点，圆：为坐标原点)． 求经过，以及圆与圆交点的圆的方程； 过点向圆引两条切线，切点分别为，求直线的方程． 5 (★★) 求圆心在直线上，且过两圆与的交点的圆的方程． 6 (★★) 过圆内一点作一弦交圆于两点，过点作圆的切线，求点的轨迹方程. 7 (★★★) 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线：截得的弦长为． 圆的方程； 设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标． 8 (★★★) 如图，已知圆：，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点为． 当的横坐标为时，求∠的大小； 求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 $$ 直线系方程与圆系方程 1 直线系方程 过点的直线系方程为(其中不全为零) 平行于直线的直线系方程； 垂直于直线的直线系方程； 过两条已知直线和交点的直线系方程 (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 2 圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 ； 过两圆，交点的圆系方程为 此圆系不含 特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 3 过圆上一点的切线方程 过圆上一点作圆的切线方程为 证明 向量法 向量，设切线上任意一点， ，，即， 即切线方程为. 切线方程也可以写成. 4 切点弦方程 过圆外一点引圆的两条切线，切点分别是， 则直线的方程为. 证明 方法1 设切点， 则过点的切线方程为， 由于点在切线上，所以有 ①， 设切点，同理得 ②， 由①②得点与点在直线上， 则直线的方程为. 方法2 以为直径的圆方程为，记为圆， 因为，所以点在圆上， 则是圆与圆的两个交点， 由圆系方程可知，两圆方程相减即得直线方程 (这跟圆上点的切线方程形式一致) 【题型一】直线系方程 【典题1】求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程． 过点； 和直线垂直． 【解析】由 解得，． 方法一 由两点的坐标求得斜率为， 由点斜式求得直线方程为， 化简得． 方法二 设过点的直线方程为， 过点，， 故所求直线方程为. 方法一 依题意得所求直线的斜率