2.5 直线与圆的最值问题（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

直线与圆的最值问题 1 最值模型 三点共线模型(三角形三边的关系) 点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 2 圆的参数方程 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 理解：如图，易得有向线段， 有向线段. Eg 圆的参数方程为 【题型一】几何法处理最值问题 情况1 三点共线模型 【典题1】是直线：上一点，求 到和的距离之差的最大值； 到和的距离之和的最小值． 情况2 斜率型最值 【典题1】如果实数满足条件：，那么的最大值是 . 情况3 两点距离型最值 【典题1】已知点在直线：上，则的最小值为　 　． 【典题2】 已知点，分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 . 情况4 圆外一定点到圆上点距离最值 【典题1】已知满足，则的最小值是 . 【典题2】已知点，圆：，点为在圆上一点，点在轴上，则的最小值为 . 情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值 【典题1】已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值和最小值之和为　　 ． 巩固练习 1 (★) 点与圆上的动点之间的最近距离为(　　) A． B． C． D． 2 (★★★) 已知点，圆：，点为在圆上一点，点在轴上，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 3 (★★) 已知点在圆上，则的最大值为　 ． 4 (★★) 已知圆上一动点，定点；轴上一点，则的最小值等于　 　． 5 (★★) 已知，则的取值范围是　 ． 6(★★) 已知两个同心圆的半径分别为和，圆心为．点分别是大圆、小圆上的任意一点，线段的中垂线为．若光线从点射出，经直线入射光线与直线的公共点为反射后经过点，则的取值范围是　 　． 7 (★★) 过动点作圆：的切线，其中为切点，若(为坐标原点)，则的最小值是　 ． 8 (★★) 已知直线：与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为　 ． 9(★★★) 如图，设圆：，圆：，点分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为　 ． 【题型二】代数法处理最值问题 【典题1】 [多选题]已知点，若过点的直线交圆：于两点，是圆上动点，则(　　) A．的最小值为 B．到的距离的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【典题2】 已知直线：，圆：，在上任意取一点，向圆作切线，切点分别为，则原点到直线的距离的最大值为　 ． 【典题3】 已知实数满足方程． 求的最大值和最小值；求的最大值和最小值；求的取值范围． 【典题4】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，点是正方形边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，当取得最小值时，直线的方程为　 　. 巩固练习 1 (★★) 若实数满足，则的最大值是(　　) A． B． C． D． 2 (★★★) [多选题]若实数满足条件，则下列判断正确的是(　　) A．的范围是 B．的范围是 C．的最大值为 D．的范围是 3 (★★) 已知点，点在直线上，求取得最小值时点的坐标． 4 (★★★) 在平面直角坐标系中，圆的方程为，为圆的圆心，过原点的直线与圆相交于两点两点均不在轴上)．求面积的最大值． 5 (★★★) 已知直线过定点，且交轴负半轴于点、交y轴正半轴于点，点为坐标原点． 若的面积为，求直线的方程； 求的最小值，并求此时直线的方程； 求的最小值，并求此时直线的方程． 6 (★★★) 已知圆的圆心在直线上，且经过点，． 求圆的方程； 已知点，，若为圆上的一动点，求的取值范围． 7 (★★★) 在平面直角坐标系中．已知圆经过，，三点，是线段上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于两点． 若，求直线的方程； 若是使恒成立的最小正整数，求的面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 $$ 直线与圆的最值问题 1 最值模型 三点共线模型(三角形三边的关系) 点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 某点到圆