2.4 圆与方程（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高二数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019选择性必修第一册）

圆与方程 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的方程 标准方程 ，圆心，半径为. 一般方程 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 3 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆半径为， .点在圆内； .点在圆上； 点在圆外. 给定点及圆 · 在圆内； · 在圆上； · 在圆外. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 4 直线、圆的位置关系 三种位置关系 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径.) · 相离没有公共点 ; · 相切只有一个公共点 · 相交有两个公共点 联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： · 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； · 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； · 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 圆上一点到圆外一直线的距离 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 5 弦长 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 【题型一】求圆的方程 【典题1】 若圆过点，且圆心到直线的距离为，求圆的标准方程. 【典题2】 已知，，，则过这三点的圆方程为 . 巩固练习 1(★) 圆与轴相切于，与轴正半轴交于两点，且，则圆的标准方程为(　　) A． B． C． D． 2(★) 若圆过点，且圆心到直线的距离为，则圆的标准方程为　 　． 3(★★) 已知圆关于直线对称的圆的方程为，则＝ . 4(★★) 圆心在直线上，经过原点，且在轴上截得弦长为的圆的方程为 . 5(★★) 已知的三个顶点坐标分别为，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为 【题型二】点与圆的位置关系 【典题1】 若点的坐标是，圆的方程为，则点与圆的位置关系是(　　) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 【典题2】 若实数满足，则的最大值是 . 巩固练习 1(★) 点与圆的位置关系为(　　) A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关 2(★) 如果圆上所有点到原点的距离都不小于，则实数的取值范围为(　　) A． B． C． D． 3(★) 若点在圆：内，则实数的取值范围为 ． 4(★) 在圆上与点距离最大的点的坐标是　　 ． 5(★★) 在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是　　 ． 6(★★) 已知点在圆上，则的最大值为　　 ． 7(★★) 已知点，若圆：上存在点，使得线段的中点也在圆上，则的取值范围是　　 ． 8(★★) 设点若圆上存在点，使得，那的取值范围　　 ． 【题型三】直线与圆的位置关系 【典题1】 若圆：与直线有公共点，则的取值范围是　　 ． 【典题2】 求过点，圆的切线的方程．  【典题3】 已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值和最小值之和为　　 ． 【典题4】直线：，动直线：，动直线：．设直线与两坐标轴分别交于两点，动直线与交于点，则的面积最大值　 ． 巩固练习 1(★) 直线与圆的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交但不过圆心 D．相交且过圆心 2(★) 点在圆外，则直线与圆的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 3(★) 已知过点的直线与圆相切，则直线的斜率为(　　) A． B． C． D． 4(★★) 若圆：与直线有公共点，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 5(★★) 【多选题】已知点在圆上，点，则(　　) A．点到直线的距离小于 B．点到直线AB的距离大于 C．当∠最小时， D．当∠最大时， 6(★) 若直线过点，斜率为，圆上恰有个点到的距离为，则的值为 ． 7(★) 直线与半圆有两个交点,则的值是　 　． 8(★★) 已知圆：，为直线：上任一点，过点作圆的切线为切点)，则最小值是　 　． 9(★★) 过直线上的点作圆的两条切线，若两切线的夹角为，则点的坐标为　 　． 10(★★★) 已知圆，过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最小值为　 ． 11