专题05 基本不等式-2023-2024学年高一数学【考点精析+真题精讲+题型突破+专题精练】（人教A版2019必修第一册）

2023-2024高一数学必修第一册 专题05等式性质及基本不等式 №考向解读 ➊考点精析 ➋真题精讲 ➌题型突破 ➍专题精练 第二章一元二次函数、方程及不等式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 专题05等式性质及基本不等式 →➊考点精析← 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 2 基本不等式及其变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 3 对勾函数 ① 概念 形如的函数. ② 图像 ③ 性质 函数图像关于原点对称， 在第一象限中，当时，函数递减，当时，函数递增. ④ 与基本不等式的关系 由图很明显得知当时，时取到最小值， 其与基本不等式时取到最小值是一致的. →➋真题精讲← 1．（2023·山东烟台·统考三模）已知且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为6 D．的最小值为4 【答案】BC 【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D. 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误； 因为，所以， 即，，当且仅当时，等号成立，故B正确； 由得，所以， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 令，则，所以的最小值不是4，D错误. 故选：BC. 2．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】，等式恒成立，， 由于，所以，， ， 当且仅当时，即时取等号. ，，故的最小值为1. 故选：. 3．（2023·山东日照·三模）设且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】由已知条件可知，且，再展开，并利用基本不等式求其最小值. 【详解】因为， 所以，， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时取得最小值． 故答案为：. 4．（2023·山东济南·统考三模）已知正数满足，则的最小值为___________. 【答案】18 【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，则，又，是正数， 所以， 当取得等号，即且时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. →➌题型突破← 题型一对基本不等式“一正，二定，三等”的理解 情况1 一正： 求函数的最值. 【误解】，故最小值是. 【误解分析】误解中套用基本不等式，，当忽略了的前提条件！ 【正解】 ， (当取到等号) ， 故函数的最大值为，没有最小值. 情况2 二定：定值 求函数的最值. 【误解】 【误解分析】套用基本不等式，满足均为正数，但是最后求不出最值，因为不是一定值. 【正解】.(当时取到等号) (通过凑项得到定值“”) 故函数的最小值为，没有最大值. 情况3 三等：取到等号 求函数的最值. 【误解】，即最小值为. 【误解分析】在误解中把，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若，则显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明，那它有最小值么？ 【正解】，令，则， 因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值. 故的最小值为，无最大值. 题型二基本不等式运用的常见方法 方法1 直接法 1.设，则三个数、、 (　　) ．都大于4 至少有一个大于4 至少有一个不小于4 至少有一个不大于4 【解析】假设三个数且且， 相加得：， 由基本不等式得：；；；(直接使用基本不等式) 相加得：，与假设矛盾； 所以假设不成立，三个数、、至少有一个不小于． 故选：． 【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立. 2.设，下列不等式中等号能成立的有(　　) ① ； ② ； ③ ； ④ ； A．个 B．个 C．个 D．个 【解析】，，，当时取到，所以①成立， ，当时取到，显然②成立， ，运用基本不等式不能取等号，此时，显然不成立， ，当时成立， 故正确的有三个，故选：． 【点拨】 ① 直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当. ② 连等问题 本题中④ ，当时成立， 这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到， 是当时取到等号，是当时取到等号， 即要同时满足方程组才行，而方程组有解， 即是成立的