专题3.2 函数的基本性质（讲+练，13大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题3.2 函数的基本性质 知识点一 函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数 单调区间 I是y＝f(x)的增区间 I是y＝f(x)的减区间 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 【特别提醒】 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 知识点二 函数单调性的结论 (1)∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． (3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (4)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． (5)函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反． (6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”． 知识点三 函数的最值 1.设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为； 2.设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为 3．函数最值存在的两个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 知识点四四 函数的奇偶性 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.提醒： (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔. 知识点五四 函数奇偶性的重要结论 函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”. (4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 考点01 利用定义判断（证明）函数的单调性 【典例1】（2022秋·浙江绍兴·高一校考期中）已知定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式; (2)判断的单调性（并用单调性定义证明）; 【典例2】（2021秋·高一校考课时练习）求的单调区间． 【规律方法】 1.判断函数单调性的方法 (1)图象法；(2)性质法；(3)定义法． 2．证明函数单调性的定义法： 3.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数； （2）函数与函数的单调性相反； （3）时，函数与的单调性相反（）； 时，函数与的单调性相同（）. 考点02 利用图象判断函数的单调性 【典例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A．是函数的增区间 B．是函数的减区间 C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数 【典例4】【多选题】（2022秋·宁夏银川·高一贺兰县第一中学校考阶段练习）奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） A．当时， B．函数在上递减 C． D．函数在上递增 考点03 由解析式判断函数的单调性 【典例5】（2023秋·高一课时练习）下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例6】【多选题】（2023秋·高一课时练习）下列函数中，在上为增函数的是（　　） A． B． C． D． 考点04 抽象函数的单调性 【典例7】（2023·江苏·高一假期作业）定义在上的函数满足：①对任意正数，都有；②当时，．则的单调递减区间为 ． 【典例8】（2023·全