专题15 构造旋转图形-【培优压轴】2023-2024学年九年级数学上册学优生难点题型专项突破（人教版）

专题15 构造旋转图形 考点1：利用角度构造旋转图形；考点2：利用线段关系构造旋转图形。 题型01 利用角度构造旋转图形 1．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝4，AB，将边AC绕着点A逆时针旋转120°得到AD，则BD的长为　 　． 2．如图，在△ADC中，DA＝DC＝4，∠ADC＝120°，M为AC上一动点（不与点A，C重合），将AM绕点A逆时针旋转60°得AN，连接NC，DM，Q为NC的中点，连接DQ，求证：DM＝2DQ． 3．（易错题）如图，五边形ABCDE中，∠BCD＝∠BAE＝90°，BC＝CD，AB＝AE，M为DE中点． 求证：（1）△ACM为等腰直角三角形； （2）S五边形ABCDEAC2＝AM2＝CM2． 4．如图，∠A＝90°，BD＝AE，AB＝CE，将△ABE绕点P逆时针旋转α得到△BFD． （1）请在图中画出点P及△BFD； （2）求证：旋转角α＝90°； （3）求∠CDF的度数． 5．【初步感知】 （1）已知，在△ABC中，BC＝4．如图1，将边AC，AB同时绕着点A分别按逆时针、顺时针方向旋转α°，得AD、AE，连接BD，CE，求证：BD＝CE； 【类比探究】 （2）如图2，在△ABC，BC＝4，若∠ABC＝60°，AB＝1，将边AC绕着点A逆时针旋转120°，得AD，连接BD，求BD的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（），连接AO，点B是x轴上的一动点，若将边AO绕点A逆时针旋转60°的AD，将边AB绕点B顺时针旋转60°的BC，当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式． 6．（易错题）已知，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点H为CF的中点． （1）连接BH、GH， ①如图1，若点G在边AB上，猜想BH和GH的关系，并给予证明； ②若将图1中的正方形AEFG绕点A顺时针旋转，使点E落在对角线CA的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想BH和GH的关系，并给予证明． （2）如图3，若AC＝5，AF＝3，将正方形AEFG绕点A旋转，连接EH．请你直接写出EH的取值范围 　 　． 7．（易错题）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，边BC绕点B顺时针旋转120°得到BE，边DC绕点D逆时针旋转120°得到DF，四边形ABEG和四边形ADFH为平行四边形． （1）如图1，若BC＝CD，∠BCD＝120°，则∠GCH＝　 　°； （2）如图2，若BC≠CD，探究∠GCH的大小是否发生变化，并证明你的结论； （3）如图3，若∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝2，请直接写出△AGH的周长． 8．（易错题）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． （1）以下四边形中，是勾股四边形的为 　 　．（填写序号即可） ①矩形； ②有一个角为直角的任意凸四边形； ③有一个角为60°的菱形． （2）如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n°得到△EDC， ①n＝60，∠BAD＝30°时，连接AD，求证：四边形ABCD是勾股四边形． ②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，与AE交于点P，连接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝4，AE＝10，求AC的长度． 题型02 利用线段关系度构造旋转图形 9．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝4，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 10．如图，O是△ABC内一点，∠OBC＝60°，∠AOC＝120°，OA＝OC，OB＝1，则AB边的长为　 　． 11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠ADC＝90°，且，的值为 　 　． 12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝30°，∠ABC＝60°，AC＝BC．若AD＝3，DC＝5，则BD＝　 　． 13．（易错题）已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD． （1）如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，求∠BFC的度数； （2）如图2，∠ABC＝α，∠ACD＝β，BC＝4，BD＝6． ①若α＝30°，β＝60°，AB的长为　 　； ②若改变α、β的大小，且α+β＝90°，求△ABC的面积． 14．（易错题）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，DE∥AB，CF⊥DE于F，AC＝6，CF＝4，G是AE中点．