专题4.3 等比数列-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.3等比数列 知识点一 等比数列 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零） 知识点二 等比数列的通项公式 . 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则. 知识点三 等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 知识点四 等比数列的前和的求和公式 一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）. 说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况. 知识点五 等比数列的性质 （1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； （2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等比数列中，对任意，，； （4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：. （5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列. 如下图所示： . （6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列． （7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列． （8）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为. （9）等比数列的单调性 当或时，为递增数列，当或时，为递减数列． 知识点六 等差数列与等比数列的区别与联系 (1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列． (2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列． (3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． (4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 考点01 等比数列及其通项公式 【典例01】（2022秋·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）在数列中，，则（    ） A．12 B．16 C．32 D．64 【典例02】（2022秋·湖北襄阳·高二校考期末）已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例03】（2022春·新疆喀什·高二校考阶段练习）实数依次成等比数列，其中，，则的值为（    ） A．-4 B．4 C．±4 D．5 考点02 等比中项 【典例04】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知，，是实数，则是，，不成等比数列的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例05】（2022春·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）等比数列中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D． 考点03 等比数列的判断与证明 【典例06】（2022秋·陕西商洛·高二校考期中）“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例07】【多选题】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）设数列，都是等比数列，则（    ） A．若，则数列也是等比数列 B．若，则数列也是等比数列 C．若的前项和为，则也成等比数列 D．在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列 【典例08】（2022秋·广东东莞·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列. (2)若，求数列的前项和. 【总结提升】 等比数列的判定方法 (1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列； (2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列； (3)通项公式法　 (均是不为0的常数，)⇔是等比数列． 考点04 等比数列的前n项和公式及其应用 【典例09】（2022秋·北京东城·高二东直门中学校考期中）已知等比数列，，且，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【典例10】（2022秋·高二单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【典例11】（2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）等比数列的公比，前n项和为，，，则 ． 【温馨提醒】 1.若已