第2章 圆与方程章末题型归纳总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

第2章 圆与方程章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求圆的方程 经典题型二：求轨迹方程 经典题型三：直线与圆位置关系 经典题型四：圆与圆的位置关系 经典题型五：弦长、切线、切线长、切点弦问题 经典题型六：圆中范围与最值问题 经典题型七：面积问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求圆的方程 例1．（2023·陕西榆林·高二校联考期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆经过点，， 可得线段的中点为，又， 所以线段的中垂线的方程为， 即， 由，解得， 即，圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 例2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为 . 【答案】 【解析】设圆的方程为，令，， 则由圆经过抛物线与轴的交点可知方程与同解， 所以，，所以圆的方程为， 又因为圆过点，所以，所以， 所以圆的方程为. 故答案为： 例3．（2023·安徽合肥·高二校考开学考试）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，则圆的方程为 . 【答案】 【解析】因为，，所以线段的中点坐标为， 直线的斜率，因此线段的垂直平分线方程是：，即． 圆心的坐标是方程组的解．解此方程组得：， 所以圆心的坐标是． 圆的半径长， 所以圆心为的圆的标准方程是． 故答案为: 例4．（2023·浙江·高二浙江省普陀中学校联考期中）平面直角坐标系中，已知点，，，，当四边形的周长最小时，的外接圆的方程为 ． 【答案】 【解析】四边形的周长为 ， 只需求出的最小值时的值. 由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令,故,所以直线方程为，令，得 ，所以. 由以上讨论，得四边形的周长最小时，，. 设过三点的圆方程为. 解得. 故的外接圆的方程为. 故答案为： 例5．（2023·河南平顶山·高二汝州市第一高级中学校考阶段练习）的三个顶点分别是，则的外接圆的方程为 ． 【答案】． 【解析】因为， 所以，线段的中点为，线段的中点为， 所以线段的垂直平分线方程为，即 线段的垂直平分线方程为，即， 由，得， 所以所求圆的圆心为， 所以圆的半径为， 所以的外接圆的方程为， 故答案为： 例6．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中）“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为， 半径为，所以所求圆的标准方程为， 即以为直径的圆的方程为. 故选：A 例7．已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得圆心坐标，半径为， 则圆的方程为，即为， 故选：C. 例8．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 关于对称的点为， 圆对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为， 因此所求的圆的方程为. 故选：D 例9．（2023·全国·高二专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 例10．（2023·全国·高二专题练习）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为， 故选：D. 经典题型二：求轨迹方程 例11．（2023·高二课时练习）已知、两定点．若动点满足，求动点的轨迹方程． 【解析】设，则， 由， 得，即， 所以动点的轨迹方程为． 例12．（2023·高二课时练习）已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程． 【解析】在上找一点，则， 过作交于，此时满足，如下图， 所以，令，则. 例13．（2023·高二课时练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 【解析】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，若的中点为，则， 所以，易知：在以为直径的圆上，且， 所以弦的中点的轨迹方程且. 例14．（2023·高二课时练习）的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程. 【解析】设的重心G的坐标是，点A的坐标是.