重难点专题19 三角函数零点与恒成立问题四大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题19三角函数零点与恒成立问题四大题型汇总 题型1含有 型 1 题型2恒成立问题 2 题型3存在成立问题 3 题型4零点问题 4 题型1含有 型 不等式恒成立问题的结论： （1），恒成立 ； （2），使得成立 ； （3），使得成立 . 【例题1】（2023秋·江西抚州·高三阶段练习）已知函数（其中为正实数）的图象关于直线对称，且，且恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B．不等式取到等号时的最小值为 C．函数的图象的一个对称中心为 D．函数在区间上单调递增 【变式1-1】1. （2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数的图象关于直线对称．若对任意，存在，使成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知，，若存在，对任意，恒成立，则 . 【变式1-1】3. （2021秋·江西南昌·高三阶段练习）函数，，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为 ． 【变式1-1】4. （2020春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数，（）若存在，，使得则的取值范围 ． 【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是 ． 题型2恒成立问题 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 【例题2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数恒成立，且在区间上单调，则的最大值为 . 【变式2-1】1. （2022·全国·高三专题练习）已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】2. （2020·全国·高三专题练习）函数，当时，恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【变式2-1】4. （2022·上海·高三专题练习）已知函数定义在上的偶函数，在是增函数，且恒成立，则不等式的解集为 . 题型3存在成立问题 【例题3】（2023·全国·高三专题练习）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式3-1】1. （2022·全国·高三专题练习）函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】2. （多选）（2023秋·浙江杭州·高三期末）若函数在区间上单调递增，则（    ） A．存在，使得函数为奇函数 B．函数的最大值为 C．的取值范围为 D．存在4个不同的，使得函数的图象关于直线对称 【变式3-1】3. （2023·上海·高三专题练习）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 【变式3-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围是 ． 【变式3-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是 . 题型4零点问题 有关三角函数综合问题的求解策略:1.根据题意问题转化为三角函数的解析式和图像，然后再根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 【例题4】（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有10个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】1. （2023·河北沧州·统考三模）已知函数的所有极值点为，且函数在内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对（    ） A．只有2对 B．只有3对 C．只有4对 D．有无数对 【变式4-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】3. （2023·上海·高三专题练习）已知，若存在正整数n，使函数在区间内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（    ） A．