第17讲 抛物线中的定点、定值-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第17讲 抛物线中的定点、定值 1．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点. (1)若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程； (2)若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标. 2．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为的面积为1． (1)求的方程； (2)过点作一条直线，交于两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·广西梧州·苍梧中学校考模拟预测）已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，． ①求证：为定值； ②求证：直线恒过定点． 4．（2023·四川广安·统考模拟预测）已知抛物线，点在抛物线C上，过点M作抛物线C的切线，交x轴于点P，点O为坐标原点． (1)求P点的坐标； (2)点E的坐标为，经过点的直线交抛物线于A，B两点，交线段OM于点Q，记EA，EB，EQ的斜率分别为，，，是否存在常数使得．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 5．（2023·黑龙江大庆·大庆市东风中学校考模拟预测）已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为. (1)求抛物线的方程和点的坐标； (2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点. 6．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点. (1)设，求证：是定值； (2)求的取值范围. 7．（2023·全国·高三专题练习）已知点为抛物线上的点，，为抛物线上的两个动点，为抛物线的准线与轴的交点，为抛物线的焦点． (1)若，求证：直线恒过定点； (2)若直线过点，，在轴下方，点在，之间，且，求的面积和的面积之比． 8．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若过点作两条直线，，与相交于，两点，与相交于，两点线段，中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，.证明：，且为定值. 9．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，， (1)求的方程； (2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值． 10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点，交y轴于E点，当点M的横坐标为1时，． (1)若直线l的斜率为1，求弦长； (2)，，试问：是否为定值．若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 11．（2023·河南开封·河南省杞县高中校考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，的周长为． (1)求抛物线C的方程； (2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由． 12．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线被抛物线C截得的弦长为5． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点A，B是抛物线C上异于原点O的不同动点，且直线OA和直线OB的斜率之和为，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，是否存在定点P，使得线段PH的长度为定值？若存在，求出点P的坐标及线段PH的长；若不存在，请说明理由． 13．（2023·全国·校联考模拟预测）已知抛物线的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点，的面积的最小值为4． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由． 14．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知为抛物线内一定点，过E作斜率分别为，的两条直线，与抛物线交于，且分别是线段的中点． (1)若且时，求面积的最小值； (2)若，证明：直线过定点． 15．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知直线与曲线的两个公共点之间的距离为． (1)求C的方程． (2)设P为C的准线上一点，过P作C的两条切线，切点为A，B，直线的斜率分别为，，且直线与y轴分别交于M，N两点，直线的斜率为．证明：为定值，且成等差数列． 16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上. (1)当，且为线段的中点时，证明：； (2)记直线，，的