第16讲 抛物线中的参数范围或最值-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第16讲 抛物线中的参数范围或最值 1．（2023春·安徽滁州·高二校考期末）已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)（ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围. 2．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且． (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值． 3．（2023秋·甘肃临夏·高三统考期末）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线斜率的取值范围； (2)证明：存在定点，使得，且. 5．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且. (1)求抛物线的方程； (2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值. 6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵坐标相同时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若P，Q为抛物线C上两个动点，，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值． 7．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下轨迹.已知细绳长度为，经测量，当笔尖运动到点处时，.设直尺边沿所在直线为，以过垂直于直尺的直线为轴，以过垂直于的垂线段的中垂线为轴，以为单位长度，建立平面直角坐标系. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于两点，的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出.的取值范围，若不存在，说明理由. 8．（2023·山东泰安·统考二模）已知点和点之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）. (1)求直线l的倾斜角的取值范围； (2)求的值. 9．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，且点P的横坐标为3． (1)求抛物线E的标准方程； (2)点A、B是第一象限内抛物线E上的两个动点，点为x轴上的动点，若为等边三角形，求实数t的取值范围． 10．（2023·河北石家庄·统考三模）已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点. (1)求直线的方程及抛物线的方程； (2)若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标. 11．（2023·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线，从点发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点． (1)求抛物线C的方程； (2)已知圆，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别为A、B，求的取值范围． 12．（2023春·辽宁·高三辽师大附中校考阶段练习）如图，已知抛物线在点处的切线与椭圆相交，过点作的垂线交抛物线于另一点，直线（为直角坐标原点）与相交于点，记、，且． （1）求的最小值； （2）求的取值范围． 13．（2023秋·高二单元测试）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围． 14．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）如图，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，，设. （1）求椭圆和抛物线的方程； （2）求的取值范围. 15．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上.已知以为圆心，为半径的圆交于两点，若的面积为. (1)求的值； (2)过点的直线