第14讲 直线与抛物线的位置关系-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第14讲 直线与抛物线的位置关系 1．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点是焦点为的抛物线：上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为. (1)证明：直线的斜率为定值； (2)在中，记，，求最大值. 2．（2023·全国·高三专题练习）如图，抛物线：，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，满足，过抛物线准线上一点，作抛物线的切线，，且与抛物线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)记的面积为，的面积为.求的取值范围. 3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程． (2)设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：． 4．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）已知点，动点在直线：上，过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的标准方程； (2)过的直线与曲线交于A，两点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求与面积之比的最大值． 5．（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，动圆M与圆相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点的直线l与曲线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线，直线相交于点P．若，求直线l的方程． 6．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知F为抛物线的焦点，是C上一点，P位于F的上方且． (1)求C的方程； (2)已知过焦点的直线l交C于A，B两点，若平分角，求l的方程． 7．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知抛物线，圆与抛物线有且只有两个公共点. (1)求抛物线的方程； (2)设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，求的最大值. 8．（2023·全国·高三专题练习）已知拋物线，为焦点，若圆与拋物线交于两点，且 (1)求抛物线的方程； (2)若点为圆上任意一点，且过点可以作拋物线的两条切线，切点分别为.求证：恒为定值. 9．（2023·山西吕梁·统考三模）已知抛物线的焦点为，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，. (1)求的标准方程； (2)抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由. 10．（2023·福建漳州·福建省漳州第一中学统考模拟预测）已知抛物线：，直线过点. (1)若与有且只有一个公共点，求直线的方程； (2)若与交于，两点，点在线段上，且，求点的轨迹方程. 11．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知抛物线C：的焦点在圆E：上. (1)设点P是双曲线左支上一动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB与圆E相切； (2)设点T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l是圆E在点T处的切线，若直线l与抛物线C交于M，N两点，求的最大值. 12．（2023·山东泰安·统考二模）已知点和点之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）. (1)求直线l的倾斜角的取值范围； (2)求的值. 13．（2023·北京·统考模拟预测）如图所示，过原点O作两条互相垂直的线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，连接AB，交y轴于点P． (1)求点P的坐标； (2)证明：存在相异于点P的定点T，使得恒成立，请求出点T的坐标，并求出面积的最小值． 14．（2023·河南开封·校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：上一点到焦点F的距离.不经过点S的直线l与E交于A，B. (1)求抛物线E的标准方程； (2)若直线AS，BS的斜率之和为2，证明：直线l过定点. 15．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知抛物线，是轴下方一点，为上不同两点，且的中点均在上. (1)若的中点为，证明：轴； (2)若在曲线上运动，求面积的最大值. 16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线交于，两点，且 (1)求的方程 (2)若直线与交于两点，点与点关于轴对称，试问直线是否过定点？若过定点，求定点的坐标；若不过定点，说明理由 17．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线交抛物线E于A，B两点，当直线过点F时，点A，B到E的准线的距离之和为12，线段AB的中点到y轴的距离是4． (1)求抛物线E的方程； (2)当时，设线段AB的