第12讲 双曲线中的参数范围或最值-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第12讲 双曲线中的参数范围或最值 1．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4. (1)求C的方程； (2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标. 2．（2023·湖南岳阳·湖南省岳阳县第一中学校考二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 3．（2023春·江苏南京·高二校考期末）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 4．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点. (1)设，求证：是定值； (2)求的取值范围. 5．（2023秋·江西萍乡·高二芦溪中学校考期末）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，. (1)求双曲线的方程； (2)若的外心为，求的取值范围. 6．（2023·山东滨州·校考模拟预测）已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且. (1)求双曲线的标准方程； (2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点. ①求证：点与点的横坐标的积为定值； ②求△周长的最小值. 7．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交C于点P，垂足为Q，，，M、N为双曲线左右顶点． (1)求双曲线C的方程； (2)设过点的动直线l交双曲线C右支于A，B两点（A在第一象限），若直线AM，BN的斜率分别为，． （i）试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围． 8．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，，点满足，记点的轨迹为， (1)求轨迹的方程； (2)若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点． ①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围； ②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由． 9．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考二模）已知双曲线：（，）的左焦点为，点是双曲线上的一点. (1)求的方程； (2)已知过坐标原点且斜率为（）的直线交于，两点，连接交于另一点，连接交于另一点，若直线经过点，求直线的斜率. 10．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知双曲线为双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点，直线交双曲线于两点. (1)若直线的斜率为，求的值； (2)设直线的斜率分别为，且，记，试探究与满足的方程关系，并将用表示出来. 11．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N. (1)若的面积为，求直线AB的方程； (2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围. 12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为 (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围. 13．（2023·江苏南通·三模）双曲线C：，点是C上位于第一象限的一点，点关于原点O对称，点关于y轴对称．延长至E使得，且直线和C的另一个交点F位于第二象限中． (1)求的取值范围； (2)证明：不可能是的三等分线. 14．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为. (1)求点的轨迹的方程； (2)设点是直线上的动点，直线，分别与曲线交于不同于，的点，，过点作的垂线，垂足为，求最大时点的纵坐标. 15．（2023·上海·高三专题练习