3.1.1 椭圆的标准方程（六大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.1.1 椭圆的标准方程 课程标准 学习目标 1、能说明本章的学习内容、学习方法与学习价值. 2、能举例说明圆锥曲线在现实世界中的广泛应用. 3、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,能说出椭圆的定义,能推导椭圆的标准方程,进一步体会数形结合思想. 1、理解并掌握椭圆的定义. 2、掌握椭圆的标准方程的推导. 3、会求简单的椭圆的标准方程. 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形． 【即学即练1】椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 ． 知识点二：椭圆的标准方程 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）． 设（），为椭圆上任意一点，则有． （2）点的集合 由定义不难得出椭圆集合为： ． （3）代数方程 ， 即：. （4）化简方程 由可得，则得方程 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略． 因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里． 椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 【即学即练2】椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 . 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）． （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 【即学即练3】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 题型一：椭圆的定义与标准方程 例1．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上一点，，且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·高二课时练习）椭圆上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 例3．（2023·全国·高二专题练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（　　） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点 变式1．（2023·全国·高二课堂例题）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是，椭圆上的点P与两焦点的距离之和等于8； (2)两个焦点分别是，并且椭圆经过点． 变式2．（2023·高二课时练习）若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程． 变式3．（2023·云南大理·高二鹤庆县第三中学校考阶段练习）（1）求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程. （2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程. 变式4．（2023·广东惠州·高二校考阶段练习）已知两定点，，曲线上的点到、的距离之和是12，则该曲线的标准方程为 . 变式5．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 【方法技巧与总结】 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能