第04练 利用导数研究不等式恒成立问题【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之导数篇

第04练 利用导数研究不等式恒成立问题 【基础练】 1．（2021·全国·校联考模拟预测）已知函数. （1）证明：当时，函数有唯一的极大值； （2）当恒成立，求实数的取值范围. 2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若对，恒成立，求的取值范围. 3．（2020春·陕西咸阳·高二统考期末）已知函数f（x）＝aex﹣2x+1． （1）当a＝1时，求函数f（x）的极值； （2）若f（x）＞0对x∈R成立，求实数a的取值范围 4．（2020·全国·高三专题练习）已知函数. （1）求函数在区间上零点个数；（其中为的导数） （2）若关于的不等式在上恒成立，试求实数的取值范围. 5．（2021秋·陕西延安·高三子长市中学校考期中）已知函数的图像在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）当时，证明：对恒成立. 6．（2022春·海南·高二校考期中）已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直. （1）求实数，的值； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 7．（2021春·甘肃天水·高二天水市第一中学校考开学考试）已知函数. （1）若在处取得极小值，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； 8．（2019·吉林长春·高三统考期末）设函数. （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．（2021秋·青海西宁·高三校联考期末）已知函数. （1）当时，证明：函数单调递增； （2）当时，令，若，求实数的取值范围. 10．（2020春·四川成都·高二校考期中）已知函数． （Ⅰ）求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）证明：对任意，都有成立． 【提升练】 11．（2022秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知，R． (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值． 12．（2023春·江苏连云港·高二校联考阶段练习）已知函数，. (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 13．（2022秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考开学考试）已知． (1)求证：对于，恒成立； (2)若对于，有恒成立，求实数a的取值范围． 14．（2022春·河南濮阳·高二濮阳一高校考期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求的取值范围. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值及函数的单调区间； (2)若时，，求的最大值（注：表示不超过实数的最大整数）. 16．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）设函数. （1）若是的极值点，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 17．（2023·北京·高三专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，曲线在轴的上方，求实数a的取值范围． 18．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围． 【能力练】 19．（2022春·北京·高三北京市十一学校校考阶段练习）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值； (3)是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由. 20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)试判断函数在上单调性并证明你的结论； (2)若对于恒成立，求正整数的最大值； (3)求证：． 21．（2023·北京·高三专题练习）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：函数存在极小值； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围． 22．（2022秋·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，记的导函数为 (1)讨论的单调性； (2)若有三个不同的极值点，其中 ①求的取值范围； ②证明：. 24．（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则． 25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，. (1)讨论函数在区间上的最大值； (2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有. 【磨尖练】 26．（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数． (1)若不等式恒成立，求正实数a的值； (2)证明：． 27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (