1.1.1空间向量及其运算（原卷版+解析版）

1.1.1空间向量及其运算（原卷版） 一、解答题 1．设是空间中任意一条线段，O是空间中任意一点，求证：M为中点的充要条件是 2．如图所示长方体中，E是的中点，，求： AI (1)； (2)． 3．已知均为空间向量，分别判断下列各式是否恒成立： (1)； (2)； (3)． 4．已知，向量为单位向量，，求向量在向量方向上的投影的数量． 5．已知空间四边形中，M，N分别是棱的中点，化简下列各向量表达式： (1)； (2)． 6．已知正方体的棱长为1，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．已知都是空间向量，且，求． 8．如果都是空间向量，判断是否成立，并说明等号何时成立． 9．如果不共面，那么这三个向量中能有两个互相平行吗？为什么？ 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 $$1.1.1空间向量及其运算（解析版） 一、解答题 1．设是空间中任意一条线段，O是空间中任意一点，求证：M为中点的充要条件是 【答案】证明见解析 【分析】由空间向量线性运算可证. 【详解】证明  因为M为中点 ， 所以结论成立． 2．如图所示长方体中，E是的中点，，求： AI (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据向量的数量积定义运算，可得答案； （2）根据向量的线性运算转化，再利用数量积运算可得答案. 【详解】（1）因为是长方体，而且，所以 ， ，， 因此，． （2）由题，，， ，， . 3．已知均为空间向量，分别判断下列各式是否恒成立： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)恒成立； (2)恒成立； (3)恒成立. 【分析】（1）根据空间向量数量积的运算律可判断； （2）根据空间向量数量积的运算律可判断； （3）根据空间向量数量积的运算律可判断. 【详解】（1） （2） （3） 4．已知，向量为单位向量，，求向量在向量方向上的投影的数量． 【答案】 【分析】向量在向量方向上的投影的数量为，计算求解即可. 【详解】由题意， 则向量在向量方向上的投影的数量为 5．已知空间四边形中，M，N分别是棱的中点，化简下列各向量表达式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由条件可得，结合向量的加法法则可得答案. (2) 取的中点，连结,从而可得，结合向量的加法法则可得答案. 【详解】（1） 为棱的中点,则 所以 所以 （2）取的中点，连结 由M，N分别是棱的中点，则 6．已知正方体的棱长为1，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)1 (3)1 (4) 【分析】(1) 正方体中可得，从而可得答案. (2) 正方体中可得，从而可得答案. (3) 在正方体中可得，且向量的夹角为，根据向量数量积的定义可得答案. (4) 在正方体中可得,根据向量数量积的运算性质结合数量积的定义可得答案. 【详解】（1）在正方体中， 所以，即 所以 （2）在正方体中， 所以，即，即的夹角为 所以 （3）在正方体中， 又向量的夹角为,且 所以 （4）在正方体中， 7．已知都是空间向量，且，求． 【答案】 【分析】将两边平方展开可得的值，再计算的值，进而可得的值. 【详解】， 因为，， 所以， 所以， 可得. 8．如果都是空间向量，判断是否成立，并说明等号何时成立． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合向量加法法则，分当中至少有一个是零向量，当均不为零向量，且方向相同时，当均不为零向量，且方向相反时， 当均不为零向量，且不共线时几种情况讨论求解. 【详解】解：当中至少有一个是零向量时，，原不等式显然成立； 当均不为零向量，且方向相同时，，原不等式成立； 当均不为零向量，且方向相反时，，原不等式成立； 当均不为零向量，且不共线时，如图所示， 在中，由三角形两边之差小于第三边得，由三角形两边之和大于第三边得， 所以成立， 综上，成立， 当中至少有一个是零向量时，； 当均不为零向量，且方向相同时，； 当均不为零向量，且方向相反时，； 9．如果不共面，那么这三个向量中能有两个互相平行吗？为什么？ 【答案】不能，理由见解析 【分析】根据题意，结合反证法，设互相平行，则可得出共面，进而判断. 【详解】解：这三个向量中不能有两个互相平行，理由如下： 假设中有两个向量互相平行，不妨设互相平行， 故构造如图的正方体，设， ， 则向量共面于平面，故矛盾. 所以不共面，那么这三个向量中不能有两个互相平行. 试卷第6页，共7页 试卷第1页，共7页 $$