12.2 专题4 构造全等三角形的常用方法(习题课件)-【初中学霸创新题】2023-2024学年八年级上册数学(人教版)

专题4 构造全等三角形的常用方法 方法1 方法2 目 录 方法3 方法4 方法1 添加公共边构造全等三角形 典例1 如图，BA⊥AC，CD⊥DB，AC与BD相交于点O，AC=DB. 求证：BA=CD. 证明：如图，连接BC. ∵BA⊥AC，CD⊥DB，∴∠A=∠D=90°. 在Rt△ABC 和Rt△DCB 中，∴△ABC≌△DCB（HL）. ∴BA=CD. 目 录 导 航 典例1 变式1 变式2 典例3 典例2 变式3 典例4 变式4 变式训练 1. （北京丰台期中）如图，AB=AD，BC=DC，E，F分别是DC，BC的中点. 求证：AE=AF. 证明：如图，连接AC. 在△ACD和△ACB中， ∴△ACD≌△ACB（SSS）.∴∠ACE=∠ACF. ∵BC=DC，E，F分别是DC，BC的中点，∴CE=CF. 在△ACE和△ACF中， ∴△ACE≌△ACF（SAS）.∴AE=AF. 目 录 导 航 典例1 变式1 变式2 典例3 典例2 变式3 典例4 变式4 典例2 如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，则BC边上的中线AD的取值范围是 （ ） A. 2<AD<18 B. 3<AD<6 C. 4<AD<12 D. 1<AD<9 【解析】如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE. ∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED， ∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB=10. 在△ACE 中，CE-AC<AE<CE+ AC， 即 10-8<2AD<10+8，∴1<AD<9. 方法2 利用“倍长中线法”构造全等三角形 D E 目 录 导 航 典例1 变式1 变式2 典例3 典例2 变式3 典例4 变式4 变式训练 2. 如图，CE是△ACD的中线，点B在AD的延长线上，BD=AC，∠ACD=∠ADC. 求证：CE=BC. 证明：延长CE至点F，使EF=CE，连接DF，如图. 在△ACE和△DFE中， ∴△ACE≌△DFE（SAS）.∴∠CAE=∠FDE，AC=DF. ∵∠CDF=∠ADC+∠FDE，∠ACD=∠ADC，∴∠CDF=∠ACD+∠CAD=∠BDC. ∵BD=AC，∴DF=BD. 在△CDF和△CDB中， ∴△CDF≌△CDB（SAS）.∴CF=BC，∴CE=BC. F 目 录 导 航 典例1 变式1 变式2 典例3 典例2 变式3 典例4 变式4 典例3 如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点（不与点 A，D 重合）. 求证：AB-AC>PB-PC. 证明：证法一（截长法）：如图，在AB上截取AN=AC， 连接PN. 在△APN和△APC中， ∴△APN≌△APC（SAS），∴PN=PC. 在△BPN中，BN>PB-PN，∴AB-AN>PB-PC，∴AB-AC>PB-PC. 方法3 利用“截长补短法”构造全等三角形 N 目 录 导 航 典例1 变式1 变式2 典例3 典例2 变式3 典例4 变式4 证明：证法二（补短法）：如图2，延长 AC 至点 M，使 AM=AB，连接PM. 在△ABP和△AMP中， ∴△ABP≌△AMP（SAS），∴PB=PM. 在△PCM中，CM>PM-PC， ∴AM-AC>PB-PC，∴AB-AC>PB-PC. 典例3 如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点（不与点 A，D 重合）. 求证：AB-AC>PB-PC. M 目 录 导 航 典例1 变式1 变式2 典例3 典例2 变式3 典例4 变式4 变式训练 3.（广东广州荔湾阶段练习）如图，AB⫽CD，BE平分∠ABC，CE 平分∠BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD. 解：如图，在BC上取点F，使BF=BA，连接EF. ∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4. 在△ABE和△FBE中， ∴△ABE≌△FBE（SAS）.∴∠A=∠5. ∵AB⫽CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180°. ∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D. 在△CFE和△CDE中，∴△CFE≌△CDE（AAS），∴CF=CD. ∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD. 目 录 导 航 典例1 变式1 变式2 典例3 典例2 变式3 典例4 变式4 典例4 （新趋势 动点探究题）如图，P（2，2），点A在x轴正半轴上运动，点B在 y 轴负半轴上运动，且 PA=PB. （1）求证：PA⊥PB； 方法4 作垂线段构造全等三角形 解：（1）证明：如图，过点P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F. ∵P（2，2），∴PE=PF=2，∠EPF=90°. 在Rt△APE和Rt△BPF中， ∴Rt△APE≌Rt△B