专题13 直线的方程9种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题13 直线的方程9种常见考法归类 1.直线的点斜式方程 （1）已知直线(斜率存在)过两点P(x，y)，P0(x0，y0)，则直线的斜率k＝. （2）已知直线过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线方程是y－y0＝k(x－x0)，叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． （3）过定点P(x0，y0)，与x轴平行的直线的方程为y＝y0；与y轴平行的直线的方程为x＝x0. 2.直线的斜截式方程 （1）已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则该直线的斜截式方程为y＝kx＋B． （2）b是直线l在y轴上的截距． 注：“截距”与“距离”的区别： 如：直线在y轴上的截距并不是距离，而是直线与y轴交点的纵坐标，它是一个数值，可正可负，可为零．当截距为非负数时，它等于交点到坐标原点的距离，当截距为负数时，它等于交点到坐标原点距离的相反数． 3.直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是＝，叫做直线的两点式方程，简称两点式． 4.直线的截距式方程 直线l与x轴的交点为(a,0)，与y轴的交点为(0，b)，其中a≠0，b≠0，则直线l的两点式方程是＝，可以整理为＋＝1.它是由直线在x轴上的截距a和y轴上的截距b确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式． 5.中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 6.直线的一般式方程 （1）关于x，y的二元一次方程，它都表示一条直线． （2）我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．若A＝0，则y＝－，它表示一条与x轴平行或重合的直线；若B＝0，则x＝－，它表示一条与y轴平行或重合的直线． 注：（1）A2＋B2≠0表示A，B不能同时为零，包括三种情况：一是A≠0且B≠0；二是A＝0，B≠0；三是B＝0，A≠0. （2）坐标平面内的任何一条直线，都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示． （3）已知直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0，若B≠0，直线方程可化为y＝－x－，故直线的斜率为－；若B＝0，则直线的斜率不存在． （4）直线Ax＋By＋C＝0，在x轴，y轴上的截距是多少？ 当A，B，C均不为0时，一般式方程Ax＋By＋C＝0可化为＋＝1，此时在x轴，y轴上的截距分别为－，－；当A＝0，B，C均不为0时，直线平行于x轴，此时在y轴上的截距为－；当B＝0，A，C均不为0时，直线平行于y轴，此时在x轴上的截距为－. 7.直线方程的互化 （1）直线的一般式Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，化为斜截式为y＝－x－；化为截距式为＋＝1. （2）点斜式y－y0＝k(x－x0)，化为一般式为kx－y－(kx0－y0)＝0；斜截式y＝kx＋b，化为一般式为kx－y＋b＝0；两点式＝，化为一般式为(y2－y1)x－(x2－x1)y＋x2y1－x1y2＝0；截距式＋＝1，化为一般式为bx＋ay－ab＝0. 8.直线系方程 具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有待定系数(也称参变量)． (1)已知直线纵截距b，常设其方程为y＝kx＋b(不适用于斜率不存在的直线)； (2)已知直线横截距a，常设其方程为x＝my＋a(不适用于斜率为0的直线)； (3)与直线Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)； (4)与直线Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0； (5)已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，点M0(x0，y0)，则经过点M0且平行于直线l的直线的方程是A(x－x0)＋B(y－y0)＝0；经过点M0且垂直于直线l的直线的方程是＝. 9.求直线的点斜式方程的方法步骤 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)； (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．　 10.直线的斜截式方程的求解策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别； (3)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，