专题01 解一元二次方程 【考题猜想，30题5种题型】-2023-2024学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题01 解一元二次方程（30题5种题型） 一、一元一次方程 1．（2022秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 2．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． [观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推． (1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块； (2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由． 3．（2019秋·重庆江津·九年级校联考期末）先化简，再求值：，其中，a是方程x2﹣3x+1=0的根． 二、一元二次方程的解法 4．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市实验学校校考期中）用指定的方法解下列方程： （1）；（直接开平方法） （2）；（配方法） （3）；（公式法） （4）．（因式分解法） 5．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 6．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期中）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0； （2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0． 7．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x2﹣5x﹣6＝0； ②x2﹣x＋1＝0； (2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值； (3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值． 8．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）已知关于，的方程组与的解相同． （1）求，的值； （2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 9．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程 (1)已知x=2是方程的一个根，求m的值； (2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB<AC）的边长，当BC=时，△ABC是直角三角形，求此时m的值． 10．（2022秋·江苏·九年级期中）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”_______． （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 11．（2022秋·江西赣州·九年级统考期中）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 12．（2021秋·湖南·九年级校联考期中）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 问题：解方程（提示：可以用换元法解方程）， 解：设，则有， 原方程可化为：， 续解： 13．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）阅读下列材料，解答问题． ． 解：设，则， 原方程可化为， ，即． 或，解得． 请利用上述方法解方程：． 14．（2023秋·重庆渝中·九年级统考期末）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 三、一元二次方程根的判别式 15．（2023秋·湖南益阳·九年级校联考期末）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积． 16．（2022秋·河北保定·九