2.3.3点到直线的距离公式课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示. 在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 点到直线的距离公式 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 学习目标 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 问题　 如图，已知点 ，直线 如何求点 到直线 的距离？ Q P y x o l 点 到直线l 的距离的定义？ 点P到直线 l的距离，是指从点P到直线l的垂线段 PQ的长度，其中Q 是垂足. 如何求 ？你有那些想法？ [直接法] 求出点Q坐标，利用两点间距离公式 [间接法] 构造直角三角形 R S 采用等面积法 [向量法] 向量是解决距离的有力工具，能否用向量法？ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 思路一：直接法 直线 的斜率 直线 的方程 直线 PQ 的方程 交点 点 P、Q 之间的距离 |PQ|. 点 P的坐标 直线 PQ 的斜率 点 P的坐标 点 的坐标 两点间距离公式 思路自然运算繁琐 当A=0或B＝0时，上述公式仍然成立。 Q P y x o l 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 5 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复’杂运算的原因吗? 能否不求点Q的坐标？ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 6 不妨设 ， 则 解方程组 能否从方程组中直接求出 ？ 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗? 则 设而不求 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 7 把上面两式平方相加，得 整体代换 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 思路二：间接法 等面积法求出 |PQ| 求出 |PR| 求出|PS| 利用勾股定理求出|RS| 求出点R的坐标 求出点S的坐标 |PQ|·|RS|=|PR|· |PS| 当A=0或B＝0时，上述公式仍然成立。 Q P y x o l R S 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 9 一、空间向量的有关概念 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢? 点 P 与直线 l 上任一点所成向量与向量 有何关系？ 向量 是 … 在 上的投影向量. 设 n是直线 PQ 的方向向量， 思路三：向量法 在直线 l 上任取一点 M， 与 有何关系？ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 10 知识要点2 思路三：向量投影法 求出直线l与y轴的交点M的坐标 M 求出PM 求出直线l的垂直向量n 求出PM在 n 上的投影向量PQ 长 Q P y x o l l的一个方向向量(B,－A). 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 11 点 P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 （ A，B不全为0 ）的距离： 点到直线的距离： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. 注意点： 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 例5: 求点 到直线 的距离． 思考：还有其他解法吗？ 如图，直线3x=2平行于y轴， O y x l:3x=2 P(-1,2) 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 13 跟踪训练1 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 解：设边AB上的高为h, 则 例6 已知点A(1,3), B(3,1), C(-1,0)，求△ABC的面积. 边AB所在直线l的方程为 即 点C(-1,0)到直线l的距离为 因此 x y O -1 1 2 2 3 3 1 A (1,3) C (-1,0) 还有其他方法吗？ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 例6 已知点A(1,3)，B(3,1)，C(-1,0)，求三角形ABC的面积. 割补 解法二： 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 点到直线距离公式的综合应用 转变观念 改