1.4.2.2用空间向量研究夹角问题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量. 下 面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角。 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 用空间向量研究夹角问题 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 1. 线线角 (异面直线所成的角) 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得. 也就是说，若异面直线l1, l2所成的角为θ，其方向向量分别是 则 l1 l2 l1 l2 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 例7 如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. A C D B M N E 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2. 线面角 (直线与平面所成的角) 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量 ，平面α的法向量为 ，则 α A B C 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 P41练习3.如图，在三棱锥O-ABC中，OA, OB, OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2. 求直线OB与平面ABC所成角的正弦值. B O C A x y z 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 (P38练习2). PA, PB, PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ). P B C A D O F E 解1: 过PC上任取一点D并作PO⊥平面APB ,则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角. 过点O作OE⊥PA, OF⊥PB, ∵ DO⊥平面APB, 则DE⊥PA, DF⊥PB. ∴△DEP≌△DFP, ∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP. ∴点O在∠APB的平分线上, 即∠OPE=30° . 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 解2:如图示, 建立空间直角坐标系, 设正方体棱长为1, 则 P C B A x y z O (P38练习2). PA, PB, PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ). 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 3. 面面角 (平面与平面的夹角) 如图示，平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 类似于两条异面直线所成的角，若平面α, β的法向量分别是 和 ，则平面α与平面β的夹角即为向量 和 的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则 思考 右图中有几个二面角? 两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系? 相等或互补 设二面角α-l-β的平面角为θ0，则有 求二面角时一定要注意求夹角还是二面所成角；二面所成角要注意观察二面角是锐角还是钝角，以确定求出来的余弦值是正还是负． 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 例8 如图 示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. 求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 Q P R x y z 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 (P38练习3).如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 x y z O 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 (P38练习4) . 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (1) 直线AD与直线BC所成角的大小; (2) 直线AD与平面BCD所成角的大小; (3) 平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. D B C A O 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 D B C A x y z O 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 例9 某种礼物降落伞的示意图如图示，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°. 已知礼物的质量为1kg，每根绳子