1.4.2.1用空间向量研究距离问题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。 如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 1. 向量的数量积 2. 投影向量 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 用空间向量研究距离问题 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 学习目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 1. 点到直线的距离 如图，向量AP在直线l上的投影向量为AQ, 则△APQ是直角三角形,因为A、P都是定点, 所以|AP|,AP与u的夹角∠PAQ是确定的 于是可求|AQ|,再利用勾股定理， 可以求出点P到直线l的距离PQ。 若直线l的法向量为 ，则点P到直线l的距离为 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 思考: 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 求两条平行直线l, m之间的距离, 可在其中一条直线l上任取一点P, 则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 若直线l的法向量为 ，则点P到直线l的距离为 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2. 点到平面的距离 A P Q l 平面外一点到平面的距离等于连接此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的投影向量的长度. 向量法. 直接法； 等体积法； 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 两个平行平面之间的距离 如果两个平面α, β互相平行, 在其中一个平面α内任取一点P, 可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 直线和平面间的距离： 如果一条直线l与一个平面α平行, 可在直线l上任取一点P, 将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 思考 类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？ l A A 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 例4 如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离. A C B D A1 B1 C1 D1 E F y x z 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 又FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 用向量法求平面α一个点P到平面α的距离的步骤： (3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d． (1) 求出该平面α的一个法向量 ； α A Q P d (2) 找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量 ； 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何结论. （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 课本35练习 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; B A A1 B1 C1 D1 C D E F M 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (2) 求直线FC1到直线AE的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (3) 求点A1到平面AB1E的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中