1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决几何问题的关键. 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量向量表示空间中的点、直线和平面. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 空间中点、直线和平面的向量表示 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 学习目标 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 我们怎么用向量把空间中的一个点表示出来？ O P 1.点的位置向量 2．空间直线的向量表示式 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量. 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB＝a，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta＝OA＋tAB． l A B P O a a l A B P 结论：空间任意直线由直线上一点和直线的方向向量唯一确定. 1-t t 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 3．空间平面的向量表示式 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ α P O OP=xa+yb 点O与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以表示出α内的任意一点， 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使 OP＝OA＋xAB+yAC． B α A C P O a b 上式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 1-x-y x y 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 4．平面的法向量 给定空间一点 A 和一条直线 l ，则过点 A 且垂直于直线 l 的平面是唯一确定的. 由此可以利用点 A 和直线 l 的方向向量来确定平面. 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量． 过空间点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以用集合表示为 ． {P|a·AP=0} α A P l a 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 1．空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？ 能 2．一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？ 不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定． 3．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(2，1，1)　B．(－2，2，2) C．(－3，2，1) D．(2，1，－1) 与AB共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量 概念理解 4．已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，则平面ABC的一个法向量为 (　　) A．(0，1，－1) B．(－1，0，1) C．(1，1，1) D．(－1，0，0) 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 例1 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 求平面法向量的步骤 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 课堂 小结 1.知识清单： (1)空间中点、直线、平面的向量表示. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法、赋值法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 再见 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 跟踪训练　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 于是＝，＝(1，，0). 则即所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，). 如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则D(0，，0)，E，B(1,0,0)，C(1，，0)， $$