1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算。 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与b的夹角 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，则 (1)a⊥b⟺ a·b=0．（直线垂直的条件） (2) a·a=|a|2或|a|= .（长度） (3)|a·b|≤|a||b|．（由|cosθ|≤1得到） a向量在b向量上的投影向量 =|| = 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 空间向量的数量积 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 学习目标 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 思考 类比平面向量数量积的定义，给出空间向量数量积的定义. 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点O，作=，=. 则∠AOB叫做向量的夹角，记作. O B A O B A 1、空间向量的夹角： 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 思考 类比平面向量数量积的定义，给出空间向量数量积的定义. 已知两个非零向量，则||||cos叫做的数量积， 记作. 即=||||cos 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 由向量的数量积定义,可以得到: =||||cos= = 2、空间向量的数量积： 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 数量积的运算性质 ①a·e=|a|cos<a,e>(e为单位向量). ②若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0; ③若a与b同向,则a·b=|a||b|; 若a与b反向,则a·b=-|a||b|. 特别地，|a|2=a·a或|a|= . ④若θ为a,b的夹角,则cos θ= . ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时,等号成立) 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 6 思考 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影．类似地，在空间，向量向向量的投影有什么意义？向量向直线的投影呢？向量向平面β的投影呢？ 如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， =|a|cos, 向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影（图(2)). 图(1) 图(2) 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 如图(3)，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A‘，B’，得到向量，向量称为向量在平面β内的投影向量． 这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角. β 图(3) 空间向量的数量积满足如下的运算律: ()·=(·)，∈R ·=·(交换律) ·(＋)=·+·(分配律) 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 思考 对于三个均不为0的数a，b，c，若ab=ac，则b=c. 对于向量，，,由=，你能得到=吗?如果不能，请举出反例. 解析：不能得到=,即向量不能约分. 例：如图,在三棱锥S-ABC中,SC平面ABC, SCAC,SCBC,设=,=, =,则==0，但 思考 对于三个均不为0的数a，b、c ，若ab=c，则a=(或b=)．对于向量，，若=k，能不能写成(或)的形式? 解析：=k，不能写成(或)的形式，即向量没有除法运算 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 思考 对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab )c =a(bc)． 对于向量，，，()=(）成立吗?为什么? 解析：对于向量，，，()=(）不成立，也就是说,向量的数量积不满足结合律. 如:任意取三个不共面的向量，其中不共线，()是一个数与向量作数乘, (·)是一个数与向量作数乘，而向量,不共线， 所以() 与(·)不相等 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 A B C D 由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来,因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决． 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 l m n g 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 课堂 小结 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影. (2)空间向量数量积、性质及运算律. 2.方法归纳：化归转化. 3.常见误区： (1)