1.1.1空间向量及其线性运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

通过“平面向量及应用”的学习,我们知道,平面内、点直线可以通过平面向量及其运算来表示,它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到.从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决. 在“立体几何初步”中,我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系. 一个自然的想法是,能否把平面向量推广到空间向量. 从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素,通过空间向量运算解决立体几何问题. 在本章,我们就来研究这些问题. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 在本章的学习中,我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示,在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异; 在运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异; 通过用向量方法解决数学问题和实际问题,感悟向量在研究几何问题中的作用。 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 情景引入 章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景. 可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力,例如绳索的拉力、风力、重力等.显然,这些力不在同一个平面内. 联想用平面向量解决物理问题的方法,能否把平面向量推广到空间向量,从而利用空间向量研究滑翔运动呢? 下面我们类比平面向量研究空间向量,先从空间向量的概念和表示开始. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 空间向量及其线性运算 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 4.理解向量共线、向量共面的定义. 5.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件,会证明空间三点共线、四点共面. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 起点 终点 一、空间向量的有关概念 定义: 既有大小又有方向的量。 表示 几何表示法:有向线段 符号表示法: a ,b AB 长度(模) 向量的大小,记作 问题 你能类比平面向量和表示给出空间向量的概念和空间向量的表示吗? 正方体中,过同一个顶点的三条棱上的三条有向线段表示三个向量,它们是不共面的向量。 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 6 知识要点2 平面向量 空间向量 零 向 量 单位向量 相反向量 相等向量 共线向量 一、空间向量的有关概念 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 A B a 对于任意一个空间向量,我们都可以将其放在一个平面内研究,这时这个空间向量就是我们熟悉的平面向量了. 思考:任意两个空间向量是否可以成为同一平面内的两个向量? 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 α 空间向量是自由的,所以对于空间中的任意两个非零向量,我们都可以通过平移使它们的起点重合. 如图所示,已知向量a,b,以任意点O为起点,作向量 . 思考: 在同一平面α内吗? b a O b a 因为两条相交直线确定一个平面,所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面,也就是说任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量. 探究:数学中,引进一种量后,一个很自然的问题就是研究它们的运算.那可以把平面向量的线性运算和运算律推广到空间向量吗? 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 我们把平面向量的线性运算及运算律推广到空间,定义空间向量的加法、减法以及数乘运算: (1) (2) (3) a b a+b O A B C a-b a O A λa(λ>0) P Q λa(λ<0) N M 二、空间向量的线性运算及其运算律 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 探究:在平行六面体 中(如图),分别标出 表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗?一般地,三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系? A B C' B' A' D C D' 可以发现, 利用向量的交换律和结合律,可以得到: 有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变. 三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 O l 我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的 . 这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 如图, O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a, 则对于直线l上任意一点P, 存在实数λ, 使得 . 方向向量 发现:类似于平面向量共线的充要条件,对于任意两个空间向量a,b(b≠0),a,b共线的充要条件是存在实数λ,使得a=λb. 探究:对任意两个空间向量a,b,如果a=λb(λ∈R),