4.4 数学归纳法（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修2（人教A版2019）

数 列 第四章 4．4*　数学归纳法 返回目录 数学　选择性必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点　数学归纳法 n＝k＋1 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 探究一　用数学归纳法证明等式 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 探究二　用数学归纳法证明不等式 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 探究三　归纳—猜想—证明 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 返回目录 数学　选择性必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当______________时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? 提示　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3. 2．改写形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．结论：P(n)为真． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)用数学归纳法证明题目时可以只证明归纳递推．(　　) (2)数学归纳法证明3n≥n2(n≥3，n∈N*)的第一步是验证n＝3.(　　) (3)设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1＝＋＋＋＋…＋.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ (4)利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋＋…＋<n(n≥2，且n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了2k项．(　　) 解析　(1)错误．数学归纳法的两个步骤缺一不可． (2)正确．由数学归纳法的归纳奠基知第一步是验证n＝3. (3)错误．Sk＋1＝＋＋…＋＋＋. (4)正确．由归纳递推可知左边增加了2k项． 误区防错 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时要证明目标的表达式变形． 【例题1】 用数学归纳法证明等式＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，＝成立． (2)假设当n＝k时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝，即当n＝k＋1时等式也成立．综上，由(1)(2)可得，对于任意的n∈N*等式都成立． 【变式1】 用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋ (－1)n－1n2＝(－1)n－1. 证明　(1)当n＝1时，左边＝12＝1＝右边． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1，那么，当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k