专题4.4 相似三角形的判定与性质（二）【九大题型】-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题4.4 相似三角形的判定与性质（二）【九大题型】 【浙教版】 【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】 1 【题型2 三角板与相似三角形综合运用】 2 【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】 3 【题型4 折叠与相似三角形综合运用】 6 【题型5 判断与相似有关结论的正误】 7 【题型6 用相似三角形的判定与性质证明】 8 【题型7 用相似三角形的判定与性质求线段比值】 9 【题型8 利用相似三角形的判定与性质求最值】 11 【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决几何动点问题】 12 【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】 【例1】（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）已知菱形中，是边上一点． (1)在的右侧求作，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：． 【变式1-1】（2023·陕西·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△PAB∽△ABC（不写画法，保留作图痕迹） 【变式1-2】（2023·陕西西安·西安行知中学校考模拟预测）如图，在中，．请用尺规作图法，在射线上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【变式1-3】（2023春·河北保定·九年级统考期末）在中，，用直尺和圆规在边上确定一点D，使，根据下列作图痕迹判断，正确的是（    ） A．  B．    C．  D． 【题型2 三角板与相似三角形综合运用】 【例2】（2023春·上海·九年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． (1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； (2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； (3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点． (1)求证：∽； (2)当时，求的长； (3)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变． ①如图2，若PQ＝5，求AP长． ②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为 ． 【变式2-3】（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM= ． 【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】 【例3】（2023春·全国·九年级期中）如图1所示，一个木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等积的正方形木板． 甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝2． 乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝ 下列说法正确的是（　　） A．甲的分割方式不正确 B．甲的分割方式正确，AM的值求解不正确 C．乙的分割方式与所求AM的值都正确 D．乙的分割方式正确，AM的值求解不正确 【变式3-1】（2023·河北保定·统考二模）如图为三角形纸片ABC，其中D点和E点将AB三等分，F点为DE中点．若小慕从AB上的一点P，沿着与直线BC平行的方向将纸片剪开后，剪下的小三角形纸片面积为△ABC的，则下列关于P点位置的叙述正确的是（    ） A．在FE上，但不与F点也不与E点重合 B．在DF上，但不与D点也不与F点重合 C．与E点重合 D．与D点重合 【变式3-2】（2023·福建泉州·中考真题）（1）如图1是某个多面体的表面展开图． ①请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点； ②如果沿BC、GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么△BMC应满足什么条件？（不必说理） （2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计） 【变式3-3】（2023·吉林长春·一模）综合与实践