专题13.4 等边三角形的性质与判定【十大题型】-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题13.4 等边三角形的判定与性质【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 利用等边三角形的性质求值】 1 【题型2 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】 2 【题型3 等边三角形的证明】 4 【题型4 等边三角形在坐标系中的运用】 5 【题型5 等边三角形中的折叠问题】 7 【题型6 与等边三角形有关的规律问题】 8 【题型7 等边三角形中的动态问题】 10 【题型8 等边三角形中求最值】 11 【题型9 等边三角形中的多结论问题】 13 【题型10 确定等边三角形中的线段之间的关系】 14 【知识点 等边三角形】 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型1 利用等边三角形的性质求值】 【例1】（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知等边三角形中，，与交于点，则 ． 【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期末）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．    (1)求证：； (2)求的度数． (3)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式1-2】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【变式1-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）如图，已知等边三角形的边长为，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ．    【题型2 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】 【例2】（2023春·河南周口·八年级校考期中）如图，是等边三角形，延长到，使，点是边的中点，连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【变式2-1】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是高线，延长BC到E，使CE=AD．证明：BD=DE． 【变式2-2】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）已知，将等边和一块含有30°角的直角三角板DEF (∠F=30°)如图1放置，点B与点E重合，点A恰好落在三角板的斜边DF上． （1）利用图证明： EF=2AC； （2）在EF所在的直线上向右平移，当AB、AC与三角板斜边的交点为G、H时，如图2．判断线段EB=AH是否成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【变式2-3】（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，已知是等边三角形，点D是边上一点． (1)以为边构造等边（其中点D、E在直线两侧），连接，猜想与的位置关系，并证明你的结论； (2)若过点C作，在上取一点F，连接、，使得，试猜想的形状，直接写出你的结论． 【题型3 等边三角形的证明】 【例3】（2023春·河南周口·八年级校考期末）在中，，，是边上的高，点E为直线上点，且．    (1)如图1，当点E在边上时，求证：为等边三角形； (2)如图2，当点E在的延长线上时，求证：为等腰三角形． 【变式3-1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，是的中点，，，，且平分．求证：是等边三角形．补全下面的证明过程及理由． 证明：∵平分（已知）， ∴___________（___________）． ∵（已知）， ∴__________°． ∵（已知）， ∴__________（___________）， ∴． 又∵（已知）， ∴是等边三角形（____________）． 【变式3-2】（2023春·甘肃天水·八年级校考期末）如图，在中，，，是边的中点，，，点、为垂足．求证：    (1)； (2)是等边三角形． 【变式3-3】（2023春·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，在中，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M．    (1)求的度数． (2)证明：是等边三角形． 【题型4 等边三角形在坐标系中的运用】 【例4】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点（），连接BC，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E． (1)求证：； (2)在点C的运动过程中，的度数是否会变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； (3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 【变式4-1】（2023春·辽宁铁岭·八年级