2023-2024学年四川省成都市八年级上数学期中复习专项练习：勾股定理（难题）

2023-2024年成都市八年级上数学期中复习专项练习： 勾股定理（难题） 一、解答题 1．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，∵，∴当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为___________；当时，的最大值为___________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为3，的面积为6，求四边形面积的最小值． 2．如图，A的坐标为，为x轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接得到等腰直角三角形，P为的中点． (1)当时，求点C和点P的坐标； (2)在（1）的条件下，当点M在y轴上，为等腰三角形时，求点M的坐标； (3)点B从沿着x轴移动到时，直接写出点P运动路径长． 3．如图 与 为正三角形，点O为射线 上的动点，作射线 与直线 相交于点E，将射线 绕点O逆时针旋转 ，得到射线 ，射线与直线 相交于点F． (1)如图①，点O与点A重合时，点 ， 分别在线段，上，求证： ； (2)如图②，当点O在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出 ， ， 三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)点O在线段上，若 ， ，当 时，请直接写出 的长． 4．已知：如图，在等腰中，，，将线段绕点 顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于点，过点作线段的垂线，垂足为点，交于点 (1)如图1，若 ①求的度数； ②求证：； (2)如图2，若，当时，求的值 5．和中，，，点是延长线上一动点，点在线段上，连接与交于点． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，若，求、、之间的数量关系； (3)如图3，移动点，使得点是线段的中点时，，，点，分别是线段，上的动点，且，连接，，求的最小值． 6．如图，在中，已知是边上的高，过点B作于点E，交于点F，且，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，在的延长线上取一点G，使，请猜想与的数量关系，并说明理由． 7．如图１，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∠ADB=90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点； （3）△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP的长． 8．问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成角，即；在的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件进行扫描，已知扫描光线的张角恒为，即． 问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫到的部分（即线段和线段）之间的数量关系． 问题解决： (1)先考虑特殊情况： ①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，________（填“>”，“<”或“=”）； ②当点E位于特殊位置，比如当时，________（填“>”或“<”）； (2)特殊到一般：猜想：如图2，当时，________，证明你所得到的结论： (3)研究特殊关系：如果，求出的值． 9．如图，和都是等腰直角三角形，． (1)如图，探索与的数量关系和位置关系； (2)如图,当A，E，D三点在同一直线上时，，，求的长； (3)如图，以等腰的腰为直角边作，且，，连接，求的最大值． 10．已知中，． (1)如图，在中，若，且，求证：； (2)如图，在中，若，且垂直平分，，，求的长； (3)如图，在中，当垂直平分于，且时，试探究，，之间的数量关系，并证明． 11．如图，是边长为的等边三角形，为边上一点（不与点重合），连接，直线，分别交边于点，，连接． (1)证明：； (2)设，用含有字母和的代数式表示的周长与的周长的差值； (3)如果为直角三角形，求的长（用含有字母的代数式表示）． 12．如图，是等腰直角三角形，， ，D在线段上，E是线段上一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接． (1)如图1，求证：； (2)当A、E、F三点共线时，如图2，若，求的长； (3)如图3，若，连接，当E运动到使得时，求的面积． 13．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE=AB=AC，连接CE． (1)若∠AED=20°，则∠CAE=______°，∠AEC=______°． (2)若∠AED=，小明说∠BEC一定是45°，你认为正确吗?请说明理由