2023-2024学年四川省成都市八年级上数学期中复习专项练习：“瓜豆原理”结合“将军饮马”

2023-2024年成都市八年级上数学期中复习专项练习： “瓜豆原理”结合“将军饮马” 一、填空题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段绕着点P逆时针旋转90°，得到线段，连接，，则的最小值为 ． 2．如图，已知A(8，0)，点P为y轴上的一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接AB、OB，则OB＋BA的最小值是 ． 二、解答题 3．若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图1，当时，若B到经过原点的直线l的距离的长为3，求A到直线l的距离的长； （2）如图2，当时，点M在第一象限内，若是等腰直角三角形，求点M的坐标； （3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段绕点B逆时针旋转得到，当Q在第一象限落在直线上时，在x轴上求一点H，使的值最小，请求出H的坐标． 4．如图，在中，． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，D为外的一点，连接，且，，过点C作交的延长线于点E，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点P，过E点作交的延长线于点M，点K为直线上点的一个动点，连接，过M点作，且始终满足，连接，若，请求出取得最小值时的值． 5．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°． （1）求一次函数的解析式； （2）求出点C的坐标； （3）点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标． 6．和中，，，点是延长线上一动点，点在线段上，连接与交于点． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，若，求、、之间的数量关系； (3)如图3，移动点，使得点是线段的中点时，，，点，分别是线段，上的动点，且，连接，，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$2023-2024年成都市八年级上数学期中复习专项练习： “瓜豆原理”结合“将军饮马” 一、填空题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段绕着点P逆时针旋转90°，得到线段，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，作O关于直线BC的对称点D，连接AD，BD，由题意易得△BCP≌△POA，则有PC=OA=6，BC=OP=m，则有CO=6+m，DO=12+2m，由三角不等关系可知，进而问题可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥y轴于点C，作O关于直线BC的对称点D，连接AD，BD，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴△BCP≌△POA， ∵点，点， ∴PC=OA=6，BC=OP=m， ∴CO=6+m， 由轴对称可知：， ∴DO=12+2m， 由三角不等关系可知，即， ∴AB+OB的最小值即为AD的长， ∴ ∴当m=0时，AD最短，为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．如图，已知A(8，0)，点P为y轴上的一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接AB、OB，则OB＋BA的最小值是 ． 【答案】 【分析】设点P的坐标为，过点B作轴于点C，由旋转的性质得到，再根据角的和差解得，继而证明，由全等三角形对应边相等解得，进一步得到点的坐标为，由此知点在直线上运动，设直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于直线的对称点为，连接，，，，由三角形三边关系可得的最小值为，继而证明四边形为正方形，得到的坐标为，再利用勾股定理解得的长，即可解题． 【详解】解：∵点P为y轴上一动点， ∴设点P的坐标为， 如图所示，过点B作轴于点C， ∵线段绕着点按逆时针方向旋转90°到， ， 又轴，， ， ∴在中，， 又， ， ∴在和中， ， ， ， 又， ， ∴点的坐标为， 设， ， ∴点在直线上运动， 如图所示，设直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于直线的对称点为，连接，，，， 则，垂直平分， ， 又， 的最小值为， 即的最小值为， 又， ， ∴四边形为正方形， ∴的坐标为， ， 故的最小值为， 故答案为 . 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题、坐标与图形变化—旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键. 二、解答题 3．若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图1，当时，若B到经过原点的直线l的距离的长为3，求A到直线l的距离的长； （2）如图2，当时，点M在第一象限内，若是等腰直角三角形，求点M的坐标； （3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段绕