专题09 指数函数培优题型（重点知识梳理+8类题型+过关检测）-【挑战压轴题】2023-2024学年高一数学上学期培优题型归纳与满分秘籍（沪教版2020必修第一册）

命学科网 学种网票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题09指数函数培优题型 初中已经学过一些基本的初等函数，如：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等；而函数是 描述客观世界中变量之间相互关系和变化规律的重要语言和工具；例如，一次函数可描述匀速运动，二次 函数可描述匀加速运动等。 沪教版2020高中数学必修第一册第4章将在幂、指数与对数的基础上，通过固定等式a=c中的三个 量a、b、C中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数一幂函 数、指数函数和对数函数，要学会用函数图像和代数运算的方法研究这些函数的性质，了解它们各自蕴含 的规律：同时，要通过建立数学模型，解决一些简单的实际问愿，并体会这些函数在解决有关实际问题中 的作用，这些都将为下一章“函数的概念、性质及应用”的学习奠定基础： 《必修第一册》目录，第4章幂函数、指数函数与对数函数：4.2指数函数： 4.2.1指数函数的定义与图像：42.2指数函数的性质： 知识梳理 1、指数函数y=a(a>0,a≠1)的定义域是全体实数： 2、指数函数y=a(a>0,a≠1)有单调性：当a>1时，它在R上严格递增：而当0<a<1时，它在 R上严格递减； 3、对教材上指数函数的定义、图像与性质的理解 (1)指数函数的定义：当底数a固定，且a>0,a≠1时，等式y=a,确定了变量y随变量x变化规 律，称为底为a的指数函数。 (2)指数函数的性质 ①定义域为R,函数值为恒正；②当x=0时，y=1；③指数函数的单调性：当a>1时，指数函数y= 在R上是严格增函数：当0<a<1时，指数函数y=a在R上是严格减函数： (3)指数函数的图像特征 >1 0<<1 (1)函数图像都在x轴右侧，无限趋近于x轴，但永不相交： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网 学种闪原创，让学司更容易！ O JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (2)过定点(0,1) (3)由左至右图像上升 (4)由左至右图像下降 4、常用的结论 (1)画指数函数y=a(a>0,且a时1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a),(0,1),avs4 al.col(一1，} fla)). (2)指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. (3)在第一象限内，指数函数y=(a>0,且a时1)的图像越高，底数越大； 题 型精)讲 题型1、对指数函数定义的理解 例1、(1)若函数f(x)=a2-a-1a是指数函数，则() A.a=1 B.a=2 C.a=1或a=2 D.a>0且a≠1 【提示】： 【答案】： 【解析】： (2)已知y=(2a一1P是指数函数，则a的取值范围是 【答案】： 【解析】： 【说明】判断一个函数是指数涵数的方法： 1、需判断其解析式是否符合y=a*(a>0,且a≠1)这一结构特征. 2、看是否具备指数函数解析式具有的三个特征：①底数a为大于0且不等于1的常数：②自变量x的位置在指 数上，且x的系数是1；③的系数是1： 题型2、对指数函数“三要素”的理解 例2、求下列函数的定义域和值域： (1)y=as4 alico.10f12)-x2+2x十8：(2)y=4+2+1+1: 【说明】定义域是使所给函数有意义的x的取值范围.求值域时，应先求出指数部分对应函数的值域，再 把此值域作为指数函数定义域去求解；对于“复合函数“的研究，一般都是分解成若干个初等函数； 函数y=的定义域与值域的求法 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网 学种闪原创，让学司更容易！ o JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1、形如y=ar的函数的定义域就是x)的定义域： 2、形如y=ax的值域，应先求出x)的值域，再由函数的单调性求出ax的值域，若a的取值 范围不确定，则需对a进行分类讨论： 3、形如y=a的值域，要先求出u=a的值域，再结合y=)确定出y=a)的值域： 题型3、指数函数的图像特征及其应用 例3、(1)函数y=a02+2023(a>0,a≠1)的图像恒过定点」 【说明】本题考查指数函数的图像特扣；是利用指数函数y=a*(a>0,且a≠1)恒过定点(0,1)的性质解决y=a) +k(化为常数的恒过定点的问题，此类问题常见解法如下：分别将g(x),y~k看作整体，令g(x)=0,y-k=1, 求出x,y)值即为所求定点： (2)画出函数y=alws4aco1f12)的图像： 【说明】求解指数函数图像问题的策知略 1、抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0,1)；2、用图像变换：函数图象的平移变换（左右平移、上下平移）， 3、以后还会利用函数的性质：奇偶