专题08 幂函数培优题型（重点知识梳理+8类题型+过关检测）-【挑战压轴题】2023-2024学年高一数学上学期培优题型归纳与满分秘籍（沪教版2020必修第一册）

命学科网 学种闪原创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题08幂函数培优题型 初中已经学过一些基本的初等函数，如：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等；而函数是 描述客观世界中变量之间相互关系和变化规律的重要语言和工具；例如，一次函数可描述匀速运动，二次 函数可描述匀加速运动等。 沪教版2020高中数学必修第一册第4章将在幂、指数与对数的基础上，通过固定等式a=c中的三个 量a、b、C中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数一幂函 数、指数函数和对数函数，要学会用函数图像和代数运算的方法研究这些函数的性质，了解它们各自蕴含 的规律：同时，要通过建立数学模型，解决一些简单的实际问愿，并体会这些函数在解决有关实际问题中 的作用，这些都将为下一章“函数的概念、性质及应用”的学习奠定基础： 《必修第一册》目录，第4章幂函数、指数函数与对数函数：4.1幂函数： 4.11幂函数的定义与图像：4.1.2幂函数的性质： 知识梳理 1、幂函数y=x°的定义域由指数a决定，随着指数a的不同，幂函数的定义域是不同的，特别地，当指数 a取有理数”时(n为正整数，m为整数)，幂函数y=X的定义域是使得根式F有意义的x的全体： n 2、幂函数y=x°有单调性：当a>0时，它在(0，+∞上严格递增：而当a<0时，它在(0，+0)上严格递 减： 3、有关幂函数的知识梳理与理解 (1)定义：一般地，函数y=x叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数： (2)常见的五种幂函数的图象与性质 函数 y=x y=x2 y=x3 y=x y 图象 性 定义域 R R R (x20) {h0} 质 值域 R Cyb2o] R 20} (0 在R上单调 在（一o,0]上单调递减： 在R上单 在[0，+o)上单 在（一0,0）和(0， 单调性 递增 在(0，十∞)上单调递增 调递增 调递增 十o)上单调递减 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 学种闪原创，让学司更容易！ .CO JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 公共点(1,1) (3)一般幂函数的图象特征与性质理解 ①所有的幂函数在(O,十)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)： ②当a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[O,十∞)上严格单调递增： 特别地，当a心1时，幂函数的图象下凸：当a=1时，幂函数的解析式为y=x:当0<a<1时，幂函数的图象 上凸： ③当a0时，幂函数的图象在区间(0，十o)上单调递减，且函数在原点无意义. ④在（一0,0上，幂函数有无图象与的取值有关，若函数图像关于y轴对称，函数图象一定出现在第二象 限，若函数图像关于原点对称，函数图象一定出现在第三象限： ⑤幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称： ⑥在第一象限，作直线x=(a>1),它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的 顺序排列： 4、函数图像关于原点对称 在平面坐标系中，关于原点对称的点的纵坐标、横坐标均互为相反数： 点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为P'(-a,b): 5、函数图像关于数轴对称 函数图像关于y轴对称：在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数： 点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为P(-a,): 函数图像关于x轴对称（拓展）：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为 相反数；点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为P(a,b): 6、函数图像的平移变换 函数图像平移变换的规律： yx)的图像向左(+)或向右(-)平移a(a>O)个单位长度得到函数yfx+a)或y=fx-a的图像： y=x)的图像向上（什）或向下()平移O)个单位长度得到函数y=)+k或y=x)-k的图像： 题型精讲 题型1、对幂函数概念的理解 例1、(1)若f(x)=(m2-4m-4)x是幂函数，则m 【提示】： 【答案】： 【解析】： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究」 2 学科网 学种网票创，让学司更容易！ .CO JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (2)已知函数f(x)是幂函数，且2f(4)=f(16),则f(x)的解析式为 【提示】： 【答案】： 【解析】： 【说明】本题属于利用待定系数法，求解析式： 【注意】1、把形如y=x“的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数：2、幂函数的特征：①x“的系数为 1;②x“的底数是自变量：③x“的指数为常数：形如y=(2x)”,y=2x,y=x+6等的函数都不是幂函数： 题型2、幂函数的三要素 3 例2、(1)函数y=x4,y=x3的定义域分别记为A,B,则