第三章 小结与复习

第三章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　对圆锥曲线定义和轨迹方程的理解以及数形结合思想的应用  例1 已知动圆M与两圆中的一个内切,另一个外切,则动圆M的圆心M的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　.  【思路点拨】根据题意,利用两圆相切的性质,分类讨论求出圆M的圆心M的轨迹方程即可. 「解」 设圆的圆心分别为,,圆M的半径为.当圆M与圆内切,与圆外切时,有则,圆M的圆心轨迹是以,为焦点的双曲线左支;当圆M与圆外切,与圆内切时,有则,圆M的圆心轨迹是以,为焦点的双曲线的右支,因此圆M的圆心轨迹是以,为焦点的双曲线,,所以圆心M的轨迹方程. 「答案」 变式训练1 (1) [2022·北京市一零一中学高二期末]已知,是椭的两焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为 (　　) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 (2) 已知B,C是两个定点,,且的周长等于24,则顶点A的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　　　　　.  「解」 (1) 延长垂线交的延长线于点A,如图①,则是等腰三角形,所以,从而.因为O是的中点,Q是的中点,所以,所以点Q的轨迹是以坐标原点O为圆心,为半径的圆.故选A.　(2) 由已知,得,由定义可知,顶点A的轨迹是椭圆,且,即,所以.如图②,建立平面直角坐标系,使x轴经过B,C两点,坐标原点O为的中点,当点A在直线上,即时,A,B,C三点不能构成三角形,所以点A的轨迹方程. 变式训练1答图 「答案」 (1) A　(2) 点评总结　(1) 定义是解题的重要依据,求动点的轨迹方程,一种重要方法就是找出动点运动时所满足的几何条件,联想常见曲线的定义,判断出轨迹类型,再写出轨迹方程;(2) 要注意轨迹与轨迹方程的区别,明确“轨迹”是图形,“轨迹方程”是表示该图形的方程,不要将两者混为一谈. 例2 在平面直角坐标系中,直线,点.动点P满足,垂足为S,.求动点P的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形. 【思路点拨】设动点P的坐标为,根据题目条件,由于动点P在运动时满足的几何条件.将此条件表示为的方程,化简这一方程即得动点P的轨迹方程,再根据轨迹方程,可得到其表示的图形. 「解」 设,动点P在运动时满足的几何条件可以表示为.因为,垂足为S,又直线,所以.因为,所.因,所以,即,所以动点P的轨迹方程为,方程所表示的图形为顶点在坐标原点、焦点在x轴上、开口向右的抛物线. 变式训练2 在平面直角坐标系中,已知平行于轴的动直线交抛物线于点P,F为抛物线C的焦点.圆心不在轴上的圆M与直线轴均相切,设圆M的圆心M的轨迹为曲线E,求曲线E的方程. 「解」 因为抛物线C的方程为,所以点F的坐标为.设,因为圆M与轴、直线都相切,平行于轴,所以圆M的半径为,点,则直线的方程,即, 所.又,所以,即,所以曲线E的方程为. 点评总结　求轨迹方程的几种常用方法:① 直接法,通过建立适当的坐标系,设动点为,根据几何条件直接寻求之间的关系式;② 代入法:用所求动点的坐标来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线方程,由此即可求得所求动点坐标与之间的关系式.例2及变式训练2主要考查了定义法求轨迹方程,若所给动点的几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等某一曲线的定义,则可直接利用这一已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. 设计意图　通过对本主题的探索与研究,引导学生运用椭圆、双曲线和抛物线的定义求解有关圆锥曲线的轨迹问题,深化学生对椭圆、双曲线、抛物线定义的认识和理解,使学生学会运用定义法和直接法等方法求动点轨迹的方程,体会数形结合的思想方法在数学解题中的应用,发展学生的直观想象和逻辑推理等素养. 主题2　对圆锥曲线标准方程与几何性质的理解及转化与化归思想的应用  例3 [2022·河南省三门峡市高二期末]已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点,椭圆C的离心率为. (1) 求椭圆C的标准方程; (2) 从椭圆C在第一象限的部分上取横坐标为2的点P,若椭圆C上有两个点A,B(点A在点B左侧)使得的平分线垂直于轴,且点B与点A的横坐标之差为,求直线的方程. 【思路点拨】(1) 由题意可得关于参数的方程,解之即可得到结果.　(2) 设直线的斜率为,设出直线的方程,将其与椭圆C的方程联立,构成方程组,由韦达定理可得点A横坐标,同理可得点B横坐标,再由横坐标之差为,可得的值,进而求得直线方程. 「解」 (1) 由抛物线方程可得焦点为,则椭圆C的一个顶点为,即.由离心率,解得,所以椭圆C的标准方程.　(2) 由题意知点,设直线的斜率为,由题意知,直线的斜率为,设,直线的方程为,即.联立方程组消去得.因为P,A为直线与椭圆C的交点,所以,即,把换成,得,所以,解得或,当时,直线的方程为