2.2 直线的方程-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一同步课时教师用书word（人教A版2019）

　2.2直线的方程 课时3　直线的点斜式方程  教学目标 1. 了解在平面直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和倾斜角,理解“截距”的概念,明确“截距”与“距离”的区别. 2. 理解直线的点斜式、斜截式方程的特点与适用范围,能正确地利用直线的点斜式、斜截式方程求直线的方程,体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 3. 通过对直线方程的学习,进一步渗透数形结合的思想和数学中相互联系、转化的观点,学会运用联系与转化的观点分析、解决数学中的问题. 学习目标 课程目标 学科核心素养 掌握直线的点斜式和斜截式方程 通过直线的点斜式和斜截式方程的推导过程,提升数学抽象素养 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系 借助一次函数图象,探究直线的斜截式方程与一次函数间的关系,发展数学抽象素养 会用直线的点斜式方程和斜截式方程解决直线的平行与垂直问题 用直线方程解决有关实际问题,培养逻辑推理和数学运算素养 情景导学 笛卡尔出生于法国,是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家,还是解析几何的创始人,被黑格尔称为“现代哲学之父”.有一次,他生病卧床还在反复思考一个问题:几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,那么能不能用几何图形来表示方程呢?关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩.他拼命琢磨,通过什么样的办法才能把“点”和“数”联系起来呢?突然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗.他由此受到启发,后来创建了平面直角坐标系. 我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线,这样,在平面直角坐标系中给定一个点和斜率就能唯一确定一条直线,也就是说这条直线上任意一点与点和斜率之间的关系是完全确定的,那么这一关系如何表示呢? 【提示】 引导学生利用过两点的直线的斜率公式,尝试探究直线上任意一点与点和斜率k之间的关系,可得. 设计意图　运用笛卡尔的趣味故事创设问题情境,将数学文化融入新知,丰富学生的数学文化知识,拓展学生的视野,引导学生引导学生观察、分析和思考,在数学文化的背景中引导学生思考解决问题的方法,激发学生的求知欲望和学习数学的兴趣,调动学生学习数学的热情,提高学生参与新知学习的积极性. 初探新知 任务1　探究直线的点斜式方程和斜截式方程 活动1　探究直线的点斜式方程  问题1　由情境问题,我们知道,若直线经过点,且斜率为,则直线上的任意一点与点和斜率之间具有如下的关系:,这一关系刻画了过点,且斜率为的直线上的动点P的运动规律,我们称之为直线的点斜式方程.请问:经过点且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示? 【提示】 不能,过点且斜率不存在的直线,其方程可表示为. 问题2　过点且斜率为的直线上任意一点都可表示成吗? 【提示】 不一定,前提是直线斜率存在. 问题3　坐标满足关系式的点都在过点,斜率为的直线上吗? 【提示】 都在.因为若点的坐标满足,则,若,则,即,说明点与重合,于是可得点在直线上;若,则这说明过点和的直线斜率为,于是可得点在过点且斜率为的直线上. 问题4　当直线的倾斜角为0°时,直线方程是什么? 【提示】 当直线的倾斜角为0°时,即,根据直线的点斜式方程得,即. 问题5　当直线的倾斜角为90°时,直线的方程是什么? 【提示】 当直线的倾斜角为90°时,直线的斜率不存在,它的方程形式不能用点斜式表示.因为这时直线上每一个点的横坐标都等于,所以它的直线方程是,即. 问题6　方程与方程一样吗? 【提示】 不一样.前者中时也成立,后者中. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生探究直线上任意一点与点和斜率k之间的关系,使学生体会直线的方程就是直线上任意一点的坐标满足的关系式,从而对直线的点斜式方程形成正确的认识和理解,掌握直线点斜式方程的适用条件,发展学生的直观想象和数学抽象等素养. 注意事项: 探究直线点斜式方程时需要引导学生注意使用点斜式的两个条件:点和斜率. 活动2　探究直线的斜截式方程  问题7　已知直线的斜率是,与y轴的交点是,求直线方程. 【提示】 将斜率和点代入直线方程的点斜式得.我们称这一方程为直线的斜截式方程,其中的是直线的斜率,是直线与轴交点的纵坐标,我们把它叫做直线轴上的截距. 问题8　直线在轴上的截距是直线与轴的交点到原点的距离吗?它的取值范围是什么? 【提示】 不是直线与轴的交点到原点的距离,是直线与轴交点的纵坐标.截距的范围是一切实数. 问题9　直线的斜截式方程能表示坐标平面上的所有直线吗? 【提示】 不可以,在直线的斜截式方程中,直线的斜率必须存在,当直线的斜率不存在时,不能用直线的斜截式方程表示. 问题10　一次函数的解析式与直线的斜截式方程有什么不同? 【提示】