第一章 小结与复习-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一同步课时教师用书word（人教A版2019）

第一章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　空间向量的基本概念、空间向量的基本定理和空间向量的线性运算  例1 [2022·陕西省咸阳市高二期末改编题]如图,在平行六面体中,E是的中点,M是底面的中心,点F,N分别在和上,且,以作为空间的一个基底. (1) 用,,表示; (2) ,记向量,试求. 例1 【思路点拨】(1) 利用空间向量的加法法则,,用共线向量的关系,将向量,,分别转化为,,,从而得.　(2) 利用空间向量运算法则,将向量表示,再利用空间向量基本定理得到的值. 「解」 (1) 因为E是的中点,点F在上,且,所.又因为在平行六面体中,所.　(2) 因为M是底面ABCD的中心,所以M是的中点,所.因为点N在上,且,所.因为在平行六面体中,所.因,由空间向量基本定理得,所以,得. 变式训练1 [2021·黑龙江省绥化市高二开学考试]如图,在平行六面体中,,M,N,P分别是的中点,试用表示以下各向量: (1) ; (2). 变式训练1 「解」 (1) 因为P是的中点,所.　(2) 因为M是的中点,所,,所. 点评总结　用已知向量表示未知向量,一定要结合图形,可从以下角度入手:(1) 要有基向量意识,把有关向量尽量统一到基向量上来;(2) 把被表示向量用其他向量线性表示,进而寻找这些向量与基向量的关系;(3) 用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑用加法,否则考虑用减法,如果此向量与一个易求的向量共线,可用数乘;(4) 注意以下结论的应用:① 若A为的中点,O为空间任一点,② 若A,B,C三点共线,O为空间任一点,. 设计意图　通过对本主题的探索与研究,引导学生运用空间向量的概念、空间向量基本定理和空间向量的线性运算的有关知识求解空间向量的概念及其线性运算的有关问题,帮助学生熟悉空间向量的概念、空间向量基本定理和空间向量的线性运算,培养学生的空间想象能力,提升学生的逻辑推理和数学运算等素养. 主题2　空间向量的坐标表示与坐标运算、向量共线和共面的充要条件以及向量垂直的充要条件及其应用  例2 已知空间中三点,. (1) 若,且,求向量; (2) 已知向量与互相垂直,求的值; (3) 若点在平面上,求的值. 【思路点拨】(1) 根据空间向量的运算法则,先求出的坐标,再根据共线可设,结合模长可求得. (2) 利用向量的垂直得到它们的数量积为零,从而可求k的值.　(3) 因为点在平面上,则存在使,从而可得到关于的方程组,故可求得的值. 「解」 (1) 因为,所.因为,所以可令.因为,,即,解得,所以.　(2) 因为A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),所以=(-1,-1,0),=(1,0,-2),即,,所以.因为与互相垂直,故,所以,解得.　(3) 因为点在平面上,故存在使,所.,所以解得故. 变式训练2 [2021·辽宁省盘锦市高二期中]已知向量). (1) 当时,若向量垂直,求实数和的值; (2) 若向量与向量共面,求实数x的值. 「解」 (1) 因为),且,所,解得,则.因为,所以.因为向量与垂直,所以,即,解得. (2) 因为向量与向量共面,所以存在实数使得,所以.又因为,所以解得所以实数的值为-. 点评总结　(1) 空间向量的模的坐标表示、空间向量共线和共面的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示及空间向量的坐标运算是空间向量的重要内容,在解题中有着广泛的应用;(2) 求参数或变量的值的一个基本思路就是建立关于参数或变量的方程(组),通过解方程(组)实现问题的求解,得出问题的结论. 设计意图　通过对本主题的探索与研究,引导学生运用空间向量的坐标表示和坐标运算的有关知识求解有关空间向量及其运算的坐标表示的有关问题,帮助学生熟悉空间向量模的坐标表示、空间向量共线、共面的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示及空间向量的坐标运算,发展学生的逻辑推理和数学运算等素养. 主题3　运用空间向量解决空间中点、线、面的位置关系问题  例3 如图,在棱长为1的正方体中,E,F,G分别为的中点. (1) 求证:; (2) 试在棱上找一点M,使得,并证明你的结论. 例3 【思路点拨】本题判定线面的垂直、平行关系,可利用空间向量应用坐标进行运算,为此要先建立适当的空间直角坐标系,用坐标表示点和向量.　(1) 借助于直线的方向向量与平面的法向量的数量积为0来判定线面平行.　(2) 在探求点M的位置时,可以先设点M的坐标为,,求出参数的值.再,从而证得. 「解」 (1) 证明:如图,以D为坐标原点,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则, 例3答图 ,所.设平面的法向量为,则即令,则,所,.又因为,所以.　(2) 当M为的中点时,有,证明如下